Konstante Funktion Differenzierbar?

Question

Hallo, ich wollte Fragen ob es einen Satz gibt bzw. ob die behauptung richtig ist das eine Konstante Funktion Differenzierbar ist bzw. einmal Differenzierbar, da die Ableitung ja 0 ist?

Answer 1

f(x)=0 ist auch eine konstante Funktion - weshalb sollte eine konstante Funktion, die nicht Null ist, nur einmal differenzierbar sein?

Comments

Stimmt das ist ja offensichtlich falsch. Es ging ursprünglich um eine Aufgabe in der man zeigen sollte, dass die erste Ableitung dann f(x)=0 ist.

Answer 2

Hallo,

allgemein gilt:

Eine Funktion \(f(x)\) ist an der Stelle \(x_0\) ihres Definitionsbereichs differenzierbar, wenn der Differentialquotient existiert:

$$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Dieser existiert, wenn gilt: $$\lim_{x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\;=\;\lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Im Falle einer konstante Funktionen \(f(x)=c, ~c\in \mathbb{R}\) gilt ja einfach:

$$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{c-c}{x-x_0}=0.$$

Deswegen ist jede konstante Funktion differenzierbar, und das sogar unendlich oft, weil das ganze natürlich auch für \(f(x)=0\) geht. Falls du mehr zum Thema Differenzierbarkeit lesen willst, kann ich dir diese Zusammenfassung empfehlen: https://de.serlo.org/mathe/funktionen/grenzwerte-stetigkeit-differenzierbarkeit/differenzierbarkeit/differenzierbarkeit.

Gruß,

FDF