Ist f eine konstante Funktion auf einem Intervall, dann ist f differenzierbar und die Ableitung ist identisch gleich 0.

Question

hier eine Frage

Ist f eine konstante Funktion auf einem Intervall, dann ist f differenzierbar und die Ableitung ist identisch gleich 0.

Zeigt bitte explizit mit der Definition, dass f differenzierbar ist, falls f konstant ist.

Bitte mit (Phi) ngeben

Answer 1

Hi,
$$ \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = 0  $$ da ja \( f(x) = f(x_0) \) gilt. Jetzt den Grenzwert bilden, ergibt \( f' =0 \)
Und was meinst Du mit \( \phi \)

Comments

Dies ist ja noch nicht bewiesen. Ich glaube er meint damit

f(p + h) = f(p) + Φf (h) · h

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Hi kenne noch folgende Definition, kommt aus der mehrdimensionalen Analysis.

Eine Funktion ist in \( x_0 \) total differenzierbar wenn es eine lineare Abbildung \( L \) gibt, s.d.

$$ (1) \quad f(x_0 + h) = f(x_0) +Lh + r(h)  $$ gilt, mit \(  \frac{|| r(h)||}{h}  \to 0 \) für \( h \to 0 \)

Wenn jetzt \( f \) eine konstante Funktion ist, kann man \( r = 0 \) wählen, weil dann (1) gilt mit \( L = 0 \)

D.h. die Ableitung der konstanten Funktion ist 0, wie schon vorher in eindimensionalen Fall gezeigt.

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Kannst du das vielleicht auch noch einmal mit dem Mittelwertsatz der differentialrechnung beweisen?

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Hi,
es gilt \( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(\xi) \). Die linke Seite ist aber Null, also gilt \( f'(\xi) = 0 \). Da das für alle \( x \) und \( x_0 \) gilt, folgt \( f' = 0 \)

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Ein bisschen genauer sollte man schon argumentieren.
Der Mittelwertsatz sagt hier aus, dass für alle \(x_0,x\) mit \(x_0\neq x\) ein \(\xi\in (x_0,x)\) (bzw. \((x,x_0)\)) existiert mit \(f'(\xi)=0\). Warum folgt jetzt daraus, dass \(f'(x)=0\) für alle \(x\) gilt?
(@ghgw: Wieso willst du hier überhaupt unbedingt den Mittelwertsatz benutzen? Das ist hier völlig unnötig.)