Hoch und Tiefpunkte Theorieaufgaben

Question

!,

Ich sitze gerade vor eine Aufgabe, in der es heißt, dass ich begründen soll, ob:

Die Funktion f(x)= (x-1)^4  an der Stelle x=1 ein Globales Minimum besitzt.

An sich kann ich ableiten, Hoch- und Tiefpunkte berechnen, nur bei solchen Theoriefragen steh ich sehr oft auf dem Schlauch.

Als erstes müsste ja wenn ich in die 1. Ableitung 1 einsetze, 0 raus kommen, dass ich weiter machen kann oder?

Dann müsste ich die x=1 in die 2. Ableitung einsetzen und schauen, ob der Wert wo dort raus kommt, >0 ist?

Oder bin ich komplett daneben?

Answer 1

Als erstes müsste ja wenn ich in die 1. Ableitung 1 einsetze, 0 raus kommen, dass ich weiter machen kann oder?

Dann müsste ich die x=1 in die 2. Ableitung einsetzen und schauen, ob der Wert wo dort raus kommt, >0 ist?

Damit hast du gezeigt, dass f bei 1 ein lokales Minimum hat. Du musst noch zeigen, dass dieses auch ein globals Minimum ist. Dazu berechnest du alle Nullstellen der Ableitung. Du wirst dadurch herausfinden, dass 1 die einzige Nullstelle der Ableitung ist. Also hat f keine Hochpunkte und somit ist das lokale Minimum auch das globale Minimum.

Eine andere Möglichkeit wäre:

• Die Funktion g(x) = x⁴ hat bekanntermaßen ein globals Minimum bei 0.
  
• Die Funktion f(x) = g(x-1) ist aus g hervorgegangen indem g um 1 nach rechts verschoben wurde.
  

Answer 2

f(x)= (x-1)^4
f ´( x ) = 4 * ( x -1 )^3
Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt
4 * ( x -1 )^3 = 0
x - 1 = 0
x = 1

f ´´ ( x ) = 12 * ( x -1 )^2
f ´´ ( 1 ) = ( 1 - 1 )^4 = 0
Krümmung = 0

( x - 1 )^4 ist stets positiv oder 0.
Null bei
( x - 1) = 0
x = 1

x = 1 ist somit der tiefste Punkt der Funktion.