Punkt in Abhängigkeit von k Bestimmen, sodass die Pyramide ein k-faches Volumen hat

Question

Ich komme gerade bei einer alten Abituraufgabe zum Thema analytische Geometrie nicht weiter und bräuchte etwas Hilfe dabei.

Gegeben ist ein Würfel ABCDEFGH. In dem Würfel wird die dreiseitige Pyramide ACFH betrachtet.

Die Gerade g ist durch die Punkte B und H festgelegt. P ist ein beliebiger Punkt auf g. Berechnen Sie die Koordinaten eines Punktes P in Abhängigkeit von k für k>0 so. dass die Pyramide ACFP das k-fache Volumen der Pyramide ACFH hat.

Folgende Daten sind gegeben:

A (4|0|0), B (4|4|0), C(0|4|0), F (4|4|4), H (0|0|4), Q_{[Schnittpunkt g & ACF]} (\( \frac{8}{3} \)|\( \frac{8}{3} \)|\( \frac{4}{3} \) )

g:\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\4 \end{pmatrix} \) +  t·\( \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} \) , Ebene ACF: x + y - z = 4

Jetzt weiß ich leider nicht wirklich wie ich an die Aufgabe rangehen soll, ich habe bereits den Schnittpunkt Q von g und der Ebene ACF bestimmt. Damit wäre die Strecke \( \vec{QP} \) die Höhe der Pyramide, nur wie bestimme ich jetzt P so, dass ich die Bedigung erfülle?

Ich habe hier einmal die dazugehörige Grafik mit Geoknecht erstellt:

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=w%C3%BCrfel(0%7C0%7C0%204)%0Agerade(4%7C4%7C0%200%7C0%7C4)%0Apolygon(4%7C0%7C0%200%7C4%7C0%204%7C4%7C4)%0Apolygon(0%7C0%7C4%204%7C0%7C0%204%7C4%7C4)%0Apolygon(0%7C4%7C0%200%7C0%7C4%204%7C4%7C4)%0Apolygon(4%7C0%7C0%200%7C4%7C0%200%7C0%7C4)%7BFF0%7D%0Apunkt(4%7C4%7C0%20%22B%22)%0Atext(0%7C0%7C4%20%22H%22)%0Apunkt(2.66666%7C2.666666%7C1.3333333333%20%22Q%22)%0Apunkt(4%7C0%7C0%20%22A%22)%0Apunkt(4%7C4%7C4%20%22F%22)%0Apunkt(0%7C4%7C0%20%22C%22)

Answer 1

QH = H - Q = [0, 0, 4] - [8/3, 8/3, 4/3] = [- 8/3, - 8/3, 8/3]

P = Q + k * QH = [8/3, 8/3, 4/3] + k * [- 8/3, - 8/3, 8/3] = [8/3·(1 - k), 8/3·(1 - k), 4/3·(2·k + 1)]

Answer 2

Aloha :)$$\vec q=\frac{1}{3}\left[\left(\begin{array}{c}4\\0\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\4\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\4\\4\end{array}\right)\right]=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}8\\8\\4\end{array}\right)$$Das Volumen einer Pyramide ist \(\frac{1}{3}\cdot\)Grundfläche\(\cdot\)Höhe. Du brauchst die Grundfläche hier nicht auszurechnen. Es reicht, wenn du die Höhe mit dem Faktor \(k\) skalierst. \(k\)-fache Höhe bedeutet \(k\)-faches Volumen. Daher gilt für den Ortsvektor zum gesuchten Punkt \(P\):$$\vec p=\vec q+k\cdot\overrightarrow{QH}=\vec q+k\cdot(\vec h-\vec q)=(1-k)\vec q+k\vec h=\frac{1-k}{3}\left(\begin{array}{c}8\\8\\4\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right)$$