Fourier-Reihe der Rechteckschwingung

Question

Welche Berechnung für pi lässt sich aus dem Ergebnis der Fourier-Reihe der Rechteckschwingung erhalten?
a)  \( \pi=4\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots\right) \)
b)  \( \pi=4\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \mp \ldots\right) \)
c)  \( \pi=4\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots\right) \)
d)  \( \pi=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5} \mp \ldots\right) \)

 Meine Lösung hier ist b.

Was muss man dazu  für x einsetzen?

a)  0
b)  pi/2
c)  pi
d)  1

und hier x=1

aber bin mir nicht so sicher

Liebe Grüße

Answer 1

Aloha :)

Die Fourier-Transformierte der Rechteckfunktion$$f(x)=\text{sign}(\sin(x))=\left\{\begin{array}{rl}1&;&0<x<\pi\\0&;&x=\mathbb{Z}\pi\\-1&;&\pi<x<2\pi\end{array}\right.\quad;\quad f(x)=f(x+2\pi)$$lautet:$$f(x)=\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\sin[(2k-1)x]}{2k-1}$$Wenn du darin für \(x=\frac{\pi}{2}\) einträgst, lautet die Reihe:$$1=f(\pi/2)=\frac{4}{\pi}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\mp\cdots\right)$$

Frage 1: Nach \(\pi\) umgestellt ist das die Reihe in Antwort (d).

Frage 2: Der für \(x\) einzusetzende Wert ist \(x=\frac{\pi}{2}\), also Antwort (b).

Comments

alles klar danke sehr, ich rechne mal nach.....