Formel für die Drehung bzw. Verknüpfung zweier Spiegelungen aufstellen.

Question

Aufgabe:

X,Y,O sind beliebige punkte.

Man soll für eine Drehung f der Form:

$$f = s_{X} ∘ s_{Y}$$

eine Formel aufstellen.

Wobei s_{X} die Spiegelung entlang der Spiegelungsachse g(O,X) ist und s_{Y} entsprechend für g(O,Y).

Ansatz:

Ich hab mir gedacht ich kann (X,Y) als Basis eines Koordinatensystems sehen. Also das ich quasi mit g(O,X) die X-Achse definieren und mit  g(O,Y) die Y-Achse. Jetzt bin ich aber draufgekommen,dass das nicht unbedingt eine Orthonormalbasis sein muss - also bin ich mir ein wenig unsicher ob mein Ansatz trotzdem aufgeht - wie auch immer:

Ich hab mir gedacht ich stelle einen Punkt P in diesen Koordinatensystem dar als: a*X+b*Y

wenn ich jetzt die beiden verknüpften Spiegelungen anwende würde ich folgendes erhalten:

$$s_{Y}(P) = -a*X+b*Y$$ 

jetzt wende ich die zweite Spiegelung an:

$$s_{X}(s_{Y}(P)) = s_{X}(-a*X+b*Y) = -a*X-b*Y$$

Als formel für meine Drehung bzw. Rotation hätt ich also: $$f(P) = -a*X-b*Y$$ für beliebige $$P=a*X+b*Y$$


Kann das so stimmen? bzw. ist das gemeint mit einer Formel für die Drehung?

lg,
Spiegel

Answer 1

Ja, wenn du das auf ein kartesisches xy-Koordinatensystem überträgst

hat man ja dort auch:

Spiegelung an der x-Achse und danach Spiegelung an der

y-Achse ist das Gleiche wie Drehung um 180° um den Ursprung.

also auch (a,b) wird (-a,-b) .

Comments

Perfekt vielen dank für die Bestätigung!!

 also im Prinzip ist es egal, dass die Achsen nicht normal aufeinander stehen oder? Weil das wäre ja theoretisch möglich

lg.

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Wie ist denn Spiegelung definiert ?

Wenn die Geraden nicht orthogonal sind, wäre es eine

Drehung um den doppelten Winkel wie der zwischen den Geraden.

Schau auch dort:

https://www.mathelounge.de/358745/beweise-das-produkt-2er-spiegelungen-ist-eine-drehung

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Danke erstmal vielmals an @mathef

@tsubasa33 also bei mir im Skript ist die Spiegelung definiert als eine Abbildung f welche jedem Punkt X einen Punkt f(X) zuweist so dass die Spiegelungsachse g die Streckensymmetrale zu g(X,f(X)) ist. Bist du zufälligerweise auch aus Österreich? Hab grad dein profil abgecheckt wir haben sehr ähnlichen Stoff anscheinend xD.

@mathef: Mit der obigen Definition arbeite ich. Als Angabe habe ich X,Y,O sind drei beliebige Punkte. d.h. für mich das g(O,A) und g(O,B) nicht unbedingt orthoganal aufeinander sein müssen oder? Trifft dann meine Lösung trotzdem noch zu? oder muss ich dann eine andere Formel für diese Drehung definieren?

lg

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Bin mir da nicht so ganz sicher wie du auf

s_y(P) = -aX + bY kommst .

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Wenn ich um g(O,Y) spiegel verändert sich in der Koordinatendarstellung ja nur die X komponente und zwar ums vorzeichen deswegen hab ich mir gedacht -a*X+b*Y

das b würde sich verändern wenn ich entlang von g(O,X) spiegeln würde. Also zumindest war das mein Ansatz. Wo ich mir aber wie gesagt nicht sicher bin ob das auch für nicht orthonormalbasen gilt