Verkettung zweier Drehungen: Drehung? Drehpunkt? Drehwinkel?

Question

Aufgabe:

ψ_α sei eine Drehung in R² um den Ursprung mit Drehwinkel α, v∈R²  dann ist

φ_αv : R² → R², x↦ ψ_α (x-v) +v die Drehung um den Punkt v mit Drehwinkel α.

Seien nun v₁,v₂∈R² und α₁,α₂∈[0,2π).

Frage: Ist die Abbildung φ_α2v2 (verkettet) φ_α1v1 ebenfalls eine Drehung? Wenn ja, dann um welchen Punkt und mit welchem Drehwinkel? Wenn nein, warum nicht?

(Hinweis: Es ist nicht erforderlich mit den Drehmatrizen und Winkelfunktionen zu rechnen.)

Problem/Ansatz:

Also die Frage an sich ist ja ziemlich klar und ich bin mir auch ziemlich sicher, dass da wieder eine Drehung heraus kommt, allerdings stellt mich die Frage um welchen Punkt und mit welchem Drehwinkel vor ein großes Rätsel... Bis jetzt hatten wir nur, dass wir so eine Drehung als Verkettung von einer orthogonalen Abbildung (einer Drehung um den Ursprung) und einer Translation um den Vektor v darstellen können, allerdings sehe ich nicht wie mir das hier weiterhelfen soll.

Bei dem Drehwinkel bin ich mir ziemlich sicher, dass der neue Drehwinkel α₁+α₂ aber wie zeige ich das, und wie zeige ich den Rest?

Comments

Verschieben - Drehen - Zurückschieben

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und wie soll ich das bei zwei verknüpften Drehungen, machen, wo ich dann ja noch nicht mal weiß, um welchen Punkt sich das ganze dreht

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denn bei einer Drehung ist das ja klar, aber jetzt habe ich zwei verknüpfte Drehungen um unterschiedliche Winkel und unterschiedliche Punkte, und ich will ja wissen um welchen Punkt sich diese Verknüpfte Drehung dreht und mit welchem Winkel....

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Alternative :

φ dreht um A um α ,  ψ dreht um B um β.

φ ist eine doppelte Geradenspiegelung φ = σ_g ° σ_h wobei A der Schnittpunkt der Geraden g und h und α der doppelte Winkel zwischen h und g ist.

ψ ist eine doppelte Geradenspiegelung ψ = σ_k ° σ_l wobei B der Schnittpunkt der Geraden k und l und β der doppelte Winkel zwischen l und k ist.

Dann ist   ψ ° φ  =  σ_k ° σ_l ° σ_g ° σ_h  =  σ_k ° σ_h  falls  l = g ist.