Die Verkettung zweier Drehungen ist wieder eine Drehung - BEWEIS

Question

Brauche Hilfe bei dem Beweis von diesem Satz.

Aufgabe:
Satz: \( \quad \) Sei \( M \in \mathbb{E} \) und seien \( \alpha, \beta \) zwei Winkel mit \( w(\alpha)+w(\beta)<360^{\circ} \)
Dann gilt: \( \mathrm{D}_{\mathrm{M}, \mathrm{w}(\mathrm{\beta})} \circ \mathrm{D}_{\mathrm{M}, \mathrm{w}(\alpha)}=\mathrm{D}_{\mathrm{M}, \mathrm{w}(\alpha)+\mathrm{w}(\mathrm{\alpha})} \)

Beginn:

Dm,w(ß) ° Dm,w(a)

= (Sc ° Sb) ° (Sb ° Sa)

= ...

Wie kann man den Satz weiter beweisen??

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Basen und linearen Abbildungen. Spiegelungen und Drehungen. Darstellungsmatrizen.

Stichworte: spiegelung,drehmatrix,basis,basen,vektorraum,lineare

Wie ist diese Aufgabe zu lösen ?

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Das hier https://www.mathelounge.de/311142/verkettung-zweier-drehungen-ist-wieder-eine-drehung-beweis

könnte dir einen rechnerischen Ansatz zeigen.

Answer 1

Drehmatrix mit winkel a um 0   ( ist ja wohl alles in der Ebene) sieht so aus

cos(a)    -sin(a)
sin(a)    cos(a)  

also bei erst a dann b wäre es das Matrizenprodukt

und das gibt

cos(a)cso(b) -sin(a)sin(b)    - ( cos(a)sin(b) + sin(a)cos(b) )

cos(a)sin(b) + sin(a)cos(b)      cos(a)cso(b) -sin(a)sin(b)

=    (Additionstheorem)

cos(a+b)               - sin (a+b)
sin(a+b)               cos(a+b)

also wieder eine Drehmatrix.

und wenn der Drehpunkt nicht 0 ist machst du erst

ne Verschiebung auf 0 dann Drehung und dan n zurückschieben,

passt auch.

Comments

Wie genau macht man denn eine Verschiebung auf 0?

also ich habe folgendes Problem: ich soll angeben ob die Komposition von zwei Drehungen ebenfalls eine Drehung ist, und wenn ja um welches Punkt und mit welchem Drehwinkel... Meine erste Drehung ist gegeben durch den Drehwinkel α₁ um den Vektor v₁, die zweite durch den Drehwinkel α₂ um den Vektor v₂. meine Spontane Idee wäre es jetzt dass die Komposition dieser beiden Drehungen eine Drehung mit Drehwinkel α₁+α₂ um den Vektor v₁+v₂ ist, oder denke ich da zu einfach?

Answer 2

Beginn:

Dm,w(ß) ° Dm,w(a)

                                        | oEdA kann eine Gerade durch M beliebig gewählt werden. 

                                     | b so wählen, dass auf einer Seite Alpha und der andern Beta ist.

= (Sc ° Sb) ° (Sb ° Sa)    | Assoziativgesetz 

= Sc ° (Sb ° Sb) ° Sa

= Sc ° E ° Sa      | Assoziativgesetz

= (Sc ° E) ° Sa   
= Sc  ° Sa                Drehung um (Alpha + Beta)