Steigungswinkel Tangente Kurve / waagerechte Tangenten Kurve

Question

1) Wie groß ist der Steigungswinkel der Tangente, die im Punkt P0(1, 2) an die Kurve x4 − 3x2y + y3 − 3 = 0 gelegt ist?
2) In welchen Punkten besitzt die Kurve K : x3−3x2+4y2−4 = 0 waagerechte Tangenten?

Bei 1) habe ich die zwei Ableitungen gemacht :

fx(x,y)= 4x^3-6xy ; fy(x,y)=-3x^2+3y^2

P0 eingesetzt und erhalte für fx(1,2)=-8 und fy(1,2)=9.

Dann mit alpha = arctan(fx(x,y)/fy(x,y) = -41.634° raus .

Ist das so korrekt?

Bei 2)

Habe ich zuerst nach y aufgelöst:

y= \( \sqrt{-1/4x^3+3/4x^2+1} \)

Wie mache ich weiter ?

Die erste Ableitung gleich Null setzten?

Answer 1

1) Der Graph schaut so aus

Du solltest erkennen das man im Punkt (1 | 2) eine positive Steigung von etwa 45 Grad hat. Prüfe also mal die Vorzeichen.

Bei 2) darfst du auch die implizite Ableitung verwenden. Das ist deutlich einfacher.

Comments

Bei 1) habe ich das Vorzeichen überprüft, aber ich bekomme dennoch bei -8 raus und eingesetz im arctan kommt natürlich ein negativer Winkel. Wo habe ich das was falsch gemacht ?

Bei 2 ) wäre die Implizite Ableitung y'=\( \frac{-3x^2-6x}{8y} \)  richtig ?

Dann wäre die Nullstellen des Zähler x=0 und x=-2??

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Schau mal nach. Ist die Steigung nicht immer

y' = - Fx / Fy

Mit dem negativen Vorzeichen davor !

Schau mal unter https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation

Bei der 2. ist es

y' = -(3·x^2 - 6·x) / (8·y) = 0 Und damit 0 und 2 !

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super