Gleichung der Tangenten, vom Punkt A(1|-7) an die Kurve der Funktion f(x) = 2x²-1 gelegt

Question

1) Wie lauten die Gleichungen der Tangenten, die vom Punkt A(1|-7) an die Kurve der Funktion f(x) = 2x²-1 gelegt werden können?

 

Answer 1

Für die Tangenten habe ich folgende Gleichungen bekommen:

y = 12x -19

und

y = -4x -3

Lösungsweg: x: Koordinate des Berührungspunkts

y=mx + c

Für m die erste Ableitung des Polynoms im Punkt x einsetzen

Für y die Funktion f(x) einsetzen

c ist y1-f'(x)*x1

Damit bekommt man eine quadratische Gleichung für x.

Comments

kannst du mir BITTE den Rechenweg aufschreiben  Capricorn .. !!!

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Könnte sein, dass ich den inzwischen in meinem Kommentar eingegeben habe.

Deine Erklärung könnte dennoch gefragt sein…

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Ich war heute abend unterwegs, danke Lu für Deine Erklärungen. Ich denke, die sind verständlich genug. Mit x1 und y1 meinte ich die Koordinaten des gegebenen Punktes A. Auf c =y1-f'(x)*x1 kommt man, wenn man in der Tangenten-Funktion den Punkt A(x1,y1) einsetzt und für m die Ableitung f'(x).

Answer 2

Hallo Anes,

Ich versuche hier etwas ohne Ableitung, das aber einen zu fehleranflälligen Rechenweg hat.

Kannst du dir die Kurve und den Punkt A vorstellen? Sonst zeichnest du das besser.

Wenn du jetzt eine Gerade durch A(1,-7) und irgendeinen Punkt P(t / 2 t^2-1) einzeichnest, ist das normalerweise keine Tangente. Es gibt in der Regel noch einen zweiten Punkt auf der Kurve, durch den die Gerade geht.

Jezt musst du dafür sorgen, dass diese Gleichung nur eine Lösung hat. Wenn da eine quadratische Gleichung rauskommt, kannst du die Diskriminante d= b² - 4ac Null setzen. Das ist die zusätzliche Bedingung, die du brauchst, um die Geradengleichung fertig zu machen.

 

Die Geradengleichungen der Geraden durch A(1,-7) und P(t / 2 t^2-1) 

m= (2t^2-1-(-7)) / (t-1)   =  (2t^2 + 6)) / (t-1)

y=mx+q, A und m einsetzen

-7 =  (2t^2 + 6)) / (t-1) *1 + q              | -(2t^2 + 6)) / (t-1)

 -(2t^2 + 6)) / (t-1)  - 7 = q

y =  (2t^2 + 6)) / (t-1) x + (2t^2 + 6)) / (t-1)  - 7

 

Fiktive Schnittpunktberechnung. Parabel und Geradengleichung gleichsetzen.

(2t^2 + 6)) / (t-1) x -  (2t^2 + 6)) / (t-1)  - 7 = 2 x^2 -1

Das ist die angestrebte quadratische Gleichung, für alle Fälle. Man muss sie auf Normalform bringen und die Diskriminante 0 setzen.

 

0 = 2x^2 - (2t^2 + 6)) / (t-1) x -  (2t^2 + 6)) / (t-1)  + 6 

b² - 4ac = ( (2t^2 + 6)) / (t-1) )^2 - 4*2 * ( (2t^2 + 6)) / (t-1)  + 6 )  = 0          |*(t-1)²

 (2t^2 + 6)^2 - 4*2 * (2t^2 + 6) * (t-1)  + 6 (t-1 )²  = 0  

4t⁴ +  24 t² + 36 - 8 (2t³ - 2t² + 6t -6) + 6 (t² - 2t +1) = 0

4t⁴ +  24 t² + 36 -16t³ + 16t²  - 48t + 48 + 6t² - 12t +6 = 0

4t⁴ - 16t³+  46 t²    - 60 t + 90 = 0

Mit einem gescheiten Taschenrechner könnte ich jetzt diese Gleichung nach t auflösen und die beiden erwarteten Berührungspunkte berechnen. Danach die beiden gesuchten Geradengleichungen.

Deshalb sollte die Gleichung 2 reelle Lösungen haben. (Eventuell noch eine höchstens doppelte Scheinlösung t=1. Die ist aber hier nicht vorhanden.) 

Achtung: Vielleicht habe ich mich auch verrechnet, die Rechnung wurde am Bildschirm sehr unübersichtlich. 

 

Comments

Capricorns Weg ist bestimmt kürzer.

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wieso machst du das so kompliziert .. das kann man doch viel einfach noch machen .. mit der 1.ableitung und der tangentengleichung y=mx+b .. weiter weiß ich aber nicht ..

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ich weiß aber nicht genau was Capricorn mit seiner lösung aussagen möchte

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Ich wollte einfach nicht ableiten, wenn die Aufgabe auch ohne Ableiten lösbar ist. Schau meinen Weg und deine Skizze nochmals an bis zu:

Die Geradengleichungen der Geraden durch A(1,-7) und P(t / 2 t^2-1) 

m= (2t^2-1-(-7)) / (t-1)   =  (2t^2 + 6)) / (t-1)

Wenn man ab hier Capricorns Weg einschlägt,

nimmt man jetzt die Steigung der Kurve in P(t/ 2 t^2 -1)

und setzt beide Steigungen gleich.

 

Dafür natürlich die Ableitung: Das wolltest du ja machen:

f(x) = 2x^2 -1

f'(x) = 4x

Jetzt also an der Stelle x=t das gesuchte m = 4t

Beide m gleichsetzen

 (2t^2 + 6)) / (t-1) = 4t                  |*t-1

2t^2+6 = 4t^2 - 4t

0 = 2t^2 -4t -6

0 = t^2 - 2t -3

0 = (t-3)(t+1)

t₁ = 3, t₂ = -1

mit t₁ bekommt man die Geradengleichung 

mit m=12 

Also y = 12 x + q              A(1/-7) einsetzen

-7 = 12 + q     → q = -19

Also y = 12x -19

 

mit t₂ bekommt man die Geradengleichung 

mit m= - 4

Also y = -4 x + q              A(1/-7) einsetzen

-7 = - 4 + q     → q = -19

Also y = -4x -3

Hurra! Gleiches Resultat wie Capricorn.

Hoffentlich kommst du so draus. Ansonsten schreibt vielleicht nochmals jemand einen Lösungsweg.

Oder: Du schreibst mal genau auf, was du jetzt hast.

 

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Ja Danke jetzt versteh ich es richtig ..

Answer 3

Gleichungen der Tangenten, die vom Punkt \(A(1|-7)\) an die Kurve der Funktion \(f(x) = 2x^2-1\) gelegt werden können?

\(f´(x) = 4x\)

Berührpunkte sind:

\(B(x|2x^2-1)\)

\( \frac{2x^2-1+7}{x-1}=4x \)

\( x^2-2x= 3\)

\( (x-1)^2= 3+1=4\)

1.)

\( x-1=2\)        \( x_1=3\)       \(f(3) = 2*9-1=17\)      \(f´(3) = 4*3=12\)

2.)

\( x-1=-2\)       \( x_2=-1\)       \(f(-1) =1\)    (f´(-1) = -4\)

Nun noch die Tangentengleichungen aufstellen.