Konvergenz der Norm beweisen

Question

Die Aufgabe lautet: Ist (v_n)n∈N eine konvergente Folge in V mit Grenzwert v, so gilt auch ΙΙv_nΙΙ→ΙΙvΙΙ für n →∞.

Könnte man als antwort sagen:

Sei a_n eine Folge. Die Folge konvergiert bzgl. einer Norm gegen den Grenzwert a, wenn

‖a_n−a‖→0 und ‖.‖ eine Norm ist.

Answer 1

Hallo,

Du hast ja nur die Definition von Konvergenz angegeben, daraus folgt die Behauptung nicht.

Du brauchst vielmehr die Ungleichung: \(\forall v,w \in V: |\|v\|-\|w\|| \leq \|v-w\|\). Dies musst Du auf \(v_n\) und den Grenzwert \(v\) anwenden.

Die Ungleichung folgt aus den beiden folgenden:

$$\|v\|=\|v-w+w\| \leq \|v-w\|+\|w\|$$

$$\|w\|=\|w-v+v\| \leq \|v-w\|+\|v\|$$

Gruß