Lineare Unabhängigkeit von Vektoren Beweis

Question

Wir geben im Folgenden jeweils \( K \), einen \( K \) -Vektorraum \( V \) und ein Tupel von Vektoren \( a \) an. Beweisen oder widerlegen Sie (wie üblich mit genauen, kleinschrittigen Begründungen), dass \( a \) in \( V \) linear unabhängig ist.

Einige sagen ich soll ein LGS aufstellen, andere reden von Determinante bestimmen... ist sich jemand wirklich sicher was hier verlangt wird und könnte mir den Beweis formal aufschreiben zur Hilfe bitte? :)

Aufgabe - Lineare Unabhängigkeit:

Wir geben im Folgenden jeweils \( K \), einen \( K \) -Vektorraum \( V \) und ein Tupel von Vektoren \( a \) an. Beweisen oder widerlegen Sie (wie üblich mit genauen, kleinschrittigen Begründungen), dass \( a \) in \( V \) linear unabhängig ist.

(a) \( K=\mathbb{R}, V=\mathbb{R}^{3}, a=\left(\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right)\right) \)

(b) \( K=\mathbb{Z}_{5}, V=\mathbb{Z}_{5}^{3}, a=\left(\left(\begin{array}{c}{[1]} \\ {[2]} \\ {[3]}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}[2] \\ [3] \\ [4]\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}[1] \\ [3] \\ [0]\end{array}\right)\right) ; \)

Answer 1

Einige sagen ich soll ein LGS aufstellen, andere reden von Determinante bestimmen...

Beides ist möglich. Was du davon umsetzt, hängt von deinen Kenntnissen mit diesen Dingen ab.

Wenn du so fragst, sind Determinanten sicher nichts für dich. Also stelle doch endlich mal die drei Gleichungen auf, die sich aus der Problemstellung ergeben, und dann löse das entstandene Gleichungssystem.

Kleiner Tipp zu b):

Was ergibt

\(2 \begin{pmatrix} [1] \\ [2] \\ [3] \end{pmatrix} +1\begin{pmatrix} [2] \\ [3] \\ [4] \end{pmatrix}+1\begin{pmatrix} [1] \\ [3] \\ [0] \end{pmatrix}\) nach dem Modul 5?

Comments

Der Definition von Z5 nach entsprechen sowohl 10 als auch 5 der 0.

Jetzt wird mir endlich alles klar und ich hab alles fertig, ich danke dir. Das hat lange gedauert, aber es hat Klick gemacht...

Answer 2

Aloha :)

Die Determinanten-Methode funktioniert, wenn du genauso viele Vektoren wie Komponenten hast. In deinem Fall hast du 3 Vektoren mit je 3 Koordinaten. Das heißt, du kannst die Vektoren als Spalten in eine Determinante schreiben und diese dann berechnen. Ist das Ergebnis \(=0\), sind die Vektoren linear abhängig. Ist das Ergebnis \(\ne0\), sind die Vektoren linear unabhängig.

Ein allgemeineres Verfahren ist es, die Vektoren als Spalten in eine Matrix zu schreiben und diese Matrix dann durch elementare Gauß-Umformungen auf Dreiecksform zu bringen. Wenn dabei eine Reihe mit lauter Nullen entsteht, sind die Vektoren linear abhängig, sonst nicht.

$$\left(\begin{array}{r} & -S_1 & -3S_1\\\hline 1 & 1 & 3\\1 & -1 & -3\\3 & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r} &  & -3S_2\\\hline 1 & 0 & 0\\1 & -2 & -6\\3 & -2 & -8\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r} &  & \\\hline 1 & 0 & 0\\1 & -2 & 0\\3 & -2 & -2\end{array}\right)$$Wir haben keine Nullspalte, also sind die Vektoren linear unabhängig.

Dasselbe jetzt nochmal modulo \(5\):

$$\left(\begin{array}{r} & -2S_1 & -S_1\\\hline [1] & [2] & [1]\\ [2] & [3] & [3] \\ [3] & [4] & [0]\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r} &  & -4S_2\\\hline [1] & [0] & [0]\\ [2] & [4] & [1]\\ [3] & [3] & [2] \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r} &  & \\\hline [1] & [0] & [0] \\ [2] & [4] & [0] \\ [3] & [3] & [0] \end{array}\right)$$Wir haben eine Nullspalte, also sind die Vektoren linear abhängig.

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