Aloha :)
Wir haben \(f(x)=ae^{bx}\) und kennen den Punkt \((0|3)\), das liefert uns den Parameter \(a\):$$3=f(0)=ae^{b\cdot0}=a\quad\Rightarrow\quad a=3\quad\Rightarrow\quad f(x)=3e^{bx}$$Das \(b\) ermitteln wir aus der angegebenen Flächenbedingung:$$6\stackrel{!}{=}F=\int\limits_0^{\ln(4)}3e^{bx}\,dx=\left[\frac{3}{b}e^{bx}\right]_{x=0}^{\ln(4)}=\frac{3}{b}e^{b\ln(4)}-\frac{3}{b}=\frac{3}{b}\left(4^b-1\right)$$$$\Rightarrow\quad 2b=4^b-1$$Gleichungen solcher Art, wie wir sie jetzt für \(b\) haben, sind im Allgemeinen nur numerisch lösbar. Hier kann man jedoch eine Lösung erraten, nämlich \(b=\frac{1}{2}\).$$2\cdot\frac{1}{2}=1\quad;\quad 4^{1/2}-1=2-1=1$$Damit haben wir die Funktion fertig:$$\underline{f(x)=3e^{x/2}}$$
