Abstand berechnen zur Parametergleichung

Question

Gegeben ist die Parametergleichung (4/3/-1)+r(-4/1/0)+s(2/3/3) und der Punkt A(0/0/1)

Nun habe ich das Kreuzprodukt berechnet das gibt 3x1+12x2-14x3= 62

dann habe ich den Punkt eingesetzt also (3*0+12*0-14*1-62)/ (3^2+12^2-14^2) aber irgendwie stimmt es nicht vom Ergebnis her kann mir jemand sagen was ich falsch rechne?

Answer 1

[-4, 1, 0] ⨯ [2, 3, 3] = [3, 12, -14]

d = |3x + 12y - 14z - 62| / √(3^2 + 12^2 + 14^2)

Im Betrag lautet es ... + (-14)^2 = ... + 14^2

d = |3*0 + 12*0 - 14*1 - 62| / √(3^2 + 12^2 + 14^2) = 4.068186729

Answer 2

Das Lotfußpunktverfahren anwenden

1) Ebene in die Normalengleichung der Ebene Umwandeldn  E: (x-a)*n=0

Normalenvektor am einfachsten über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ermitteln

a kreuz b=C   hier u kreuz v=n

n(3/12/-14) 

mit a(4/3/-1) 

(x-(4/3/-1))*(3/12/-14)=0

Nun zeihen wir eine Lotgerade (Gerade) durch den Punkt A(0/0/1) als die Ebene.

Hier ist dann der Richtungsvektor m(mx/my/mz)=n(3/12/-14)

Geradengleichung g: x=(0/0/1)+r*(3/12/-14)

eingesetzt in die Ebenengleichung ergibt den Fußpunkt (Schnitpunkt mit der Ebene)

Abstand von 2 Punkten im Raum Betrag |d|=Wurzel(x2-x1)²+(y2*y1)²+(z2-z1)²)

Punkt1 A(0/0/1)   Punkt2 ist der Fußpunkt (Schnittpunkt mir der Geraden) P2(xf/yf/zf)

((0/0/1)+r*(3/12/-14)) - ((4/3/-1)*(3/12/-14)=0

nun ausmultiplizieren mit den Skajarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz

(0*3+0*12+1*(-14)+r*3*3+r*12*12-r*14*(-14) - (4*3+3*12-1*(-14))=0

dies ist eine Gleichung mit der Unbekannten r=..

eingesetzt in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt mit der Ebene

dann den Abstand der beiden Punkte berechnen.

Der Rest ist nur noch viel Rechnerei.Das schaffst du betimmt selber.