Majorante von arctan(x)/(x(x+^))

Question

Ich muss mit dem Majorantenkriterium überprüfen , ob das Integral existiert. Ich weiß aber nicht, welche Majorante passen würde für diese Funktion. Kann Die Majorante einfach arctan sein?

$$\int_{0}^{ \infty}\frac{arctan(x)}{x(x+1)} dx$$

Danke :)

Comments

So vielleicht:$$\int_0^\infty\frac{\arctan x}{x(x+1)}\,\mathrm dx<1+\int_1^\infty\frac2{x^2}\,\mathrm dx=3.$$

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Wie bist du darauf gekommen?

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Ich würde versuchen, etwas mit arctan'(x)=1/(x^2+1) zu machen.

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Splitte das Integral zunächst wie folgt in zwei Teile:$$\int_0^\infty\frac{\arctan x}{x(x+1)}\,\mathrm dx=\int_0^1\frac{\arctan x}{x(x+1)}\,\mathrm dx+\int_1^\infty\frac{\arctan x}{x^2+x}\,\mathrm dx.$$Für positive \(x\) schätze den ersten Teil mittels \(0<\arctan x<x\) ab, sowie den zweiten mittels \(0<\arctan x<2\) und (optional) \(x^2+x>x^2\).