Integral einer ln-Funktion

Question

Hallo, in Mathe II stehe ich gerade vor einem kleinen Problem... das Problem sind Brüche. Es geht darum von diversen Aufgaben die Integrale zu bestimmen. Die erste Aufgabe, war nach etwas nachdenken recht einfach. Aber die Zweite bereitet mir Kopfzerbrechen...
\( \int\limits_{1}^{e} \) \( \frac{ln(x)}{x} \) dx

Ich weiß nicht woran es liegt, eigentlich sollte man ja einfach das Schema \( \int\limits_{a}^{b} \) f(g(x))*g'(x) dx  = \( \int\limits_{g(a)}^{g(b)} \) f(z) dx   anwenden können. Aber ich habe da einen knoten im Hirn. Ich kann nicht erkennen was die innere- und die äußere- Funktion ist. Ich glaube das verwirrende sind die zwei "x" ich habe auch schon probiert den Bruch zu umgehen, was mMn.: \( \int\limits_{e}^{e} \) ln(x)*x^-1 sein sollte. Ist das richtig? Aber ich kann ja auch nicht alles umschreiben, schließlich kostet das Zeit und die hat man in den Prüfungen am aller wenigsten.

Laut dem Dozenten ist das Ergebnis: =\( \frac{1}{2} \)  

Ich würde mich über ein paar hilfreiche Kommentare freuen. Vor allem, wie ich die innere und die äußere Funktion ermitteln kann? Gibt es hier eine Verkettung?

Comments

Okay ich habe jetzt den "Knoten" gefunden. Ich hatte nicht bedacht dass der Bruch umgeschreiben: ln(x)*x^-1 das gleiche ist wie ln(x)*\( \frac{1}{x} \) und somit die Ableitung von dem Logarithmus direkt dahinter steht.

Answer 1

Hast du schon mal an Produktintegration ( ln(x) *\( \frac{1}{x} \)) gedacht?

Übrigens: Hier wird eine Funktion mit ihrer Ableitung multipliziert. Deine erste Idee geht damit auch.

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hm... daran habe ich jetzt nicht aktiv gedacht. Aber der Hauptknackpunkt ist, dass ich nicht erkennen kann was die inner und was die äußere Funktion bei dieser Aufgabe ist. Ich würde die Verkettung bei dem ln(x) sehen und damit x als die innere und ln(x) als die äußere analysieren. jedoch wäre die Ableitung von x=1 und das ist ja falsch, man muss ja mit \( \frac{1}{x} \) rechnen. Das ist ja die Ableitung von ln.

Answer 2

\( \int\limits_{1}^{e} \) \( \frac{ln(x)}{x} \) dx=\( \frac{ln(x)^2}{2} \). Einsetzen der Grenzen ergibt \( \frac{1^2}{2} \)-\( \frac{0^2}{2} \).

Answer 3

aus meinem Mathe-Formelbuch

Integralrechnung,Integrale der Logarithmischen Funktionen

∫(ln(x)^(n)/x*dx=(ln|x|)^(n+1)/(n+1)+C

∫(ln|x|)^1/x*dx=(ln|x|)^(1+1)/(1+1)+C

F(x)=(ln|x|)²/2+C

obere Grenze xo=e^1 und xu=1

A=(1/2*(ln(e))²) - (1/2*()ln|1|)²=(1/2*1) - (0)

A=1/2 FE (Flächeneinheiten)

Die Herleitung kenne ich nicht

∫x^(-1)*ln(x)*dx 

Partielle Integration ∫u*dv=u*v-∫v*du

dv=x^(-1) integriert v=x^(-1+1)*1/(-1+1)   mit  k/0 nicht definiert

oder dv=ln(x) integriert v=x*ln(x)-x=x*(ln(x)-1) auch aus dem Mathe-Formelbuch

kannst da ja mal probieren.

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Vielleicht sollte man doch ab und zu erst einmal denken, bevor man hirnlos Formeln herunterleiert. Aber das ist ja Zeitverschwendung (und ganz wichtig, natürlich auch Geldverschwendung) für Dich.

Answer 4

Die Struktur der vereinfachten Subsitution ist:

Du sucht einen Term g. Der Integrand ist nun eine Funktion über diesen Term g mal die Ableitung von g.

Hier hast Du \( g = \ln(x) \), und damit \( g' = {1\over x} \). Fehlt noch Deine Funktion f(g). Da ln(x) direkt dasteht und nicht "innerhalb", hast Du eigentlich gar keine Funktion f. Formal musst Du dann \( f = id \iff f(x)=x \) setzen. (f ist dann eine Funktion, die nichts macht.)