Seitenlänge eines Quadrates welches in einem gleichschenkligen Dreieck liegt...

Question

Aufgabe:

Einem gleichschenkligen Dreieck (Basis 10 cm, Höhe 6 cm) wird ein Quadrat einbeschrieben, da der Basis steht. Darüber wird analog wieder ein Quadrat einbeschrieben, ebenso darüber usw. (siehe Bild).

a) Berechnen sie die Seitenlänge a, des grössten Quadrates.

Konnten Sie Teliaufgabe a) nicht lösen, so arbeiten Sie weiter mit a = 3,5 cm.

b) Berechnen Sie die Summe der Folge der Flächeninhalte der Quadrate.

c) Berechnen Sie die Summe der Länge der fett dargestellten Strecken, nachdem der Vorgang sechs Mal durchgeführt wurde (geschlossener Streckenzug),

Wie komme ich bei a) auf die Seitenlänge des Quadrates? Ist es 1/3 von 10 cm? Oder ist es doch nicht optisch abschaubar.

Answer 1

Zeichne die Symmetrieachse. Dann Strahlensatz oder ähnliche Dreiecke.

Höhe h=6, Basis b=10, Quadratseite a

$$ \frac{h}{b/2}=\frac{h-a}{a/2} $$

$$ \frac{6}{5}=\frac{6-a}{a/2} $$
$$0,6a=6-a$$
$$1,6a=6$$

$$ a= 6:1,6=60:16=15:4=3,75$$

Allgemein:

$$ \frac{h}{b/2}=\frac{h-a}{a/2} $$

$$ \frac{h}{b}=\frac{h-a}{a} $$

$$ a\cdot h=b\cdot (h-a)$$

$$ a\cdot(h+b)=b\cdot h $$

$$ a=\frac{b\cdot h}{b+h}$$

Comments

danke dir! habs nun begriffen...

Answer 2

Hallo,

Zeichne es Dir zunächst mit einem Quadrat auf.

Man kann sich zum einen überlegen, dass die (rote) Gerade, auf der der Punkt \(R\) des Quadrats liegt, immer die Steigung \(2\) haben muss. Und wo diese Gerade die Seite \(a\) des Dreiecks schneidet muss zwangsläufig der Punkt \(R\) landen.

Oder man macht es elementar-geometrisch. Die Dreiecke \(\triangle QBR\) und \(\triangle M_xRC\) sind ähnlich. Folglich sind die Verhältnisse ihrer Katheten identisch. Ist \(c\) die Länge der Basis, \(h\) die Höhe des Dreiecks und \(s\) die Seitenlänge des Quadrats, so gilt$$\begin{aligned} \frac{h - s}{\frac s2} &= \frac{s}{ \frac c2 - \frac s2} \\ (c-s)(h-s) &= s^2 \\ ch - s(c+h) + s^2 &= s^2 \\ \implies s &= \frac{ch}{c+h} = \frac{60}{16} = \frac{15}4 \end{aligned}$$wenn Du zu den weiteren Aufgaben Fragen hast, so melde Dich bitte.

Comments

Die Frage hatten wir schon mal.

Und schau Dir vielleicht noch diesen Kommentar an.

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Danke Werner! Finde deinen Lösung im Vergleich zu der von MontyPython sehr interessant. Die anderen Aufgaben konnte ich glücklicherweise lösen mit der Hilfe mit 3.5cm weiterrechnen zu können... Vielen dank nochmal

Answer 3

Löse die Verhältnisgleichung (5-0,5a) : 5 = a : 6