Brüche vereinfachen/Komplexe Zahlen

Question

im Moment beschäftige ich mit komplexe Zahlen, die Grundlagen verstehe ich einigermaßen, allerdings bin ich auf ein Beispiel gestoßen, bei dem ich nicht weiß wie ich anfangen soll.

Ich bitte um einen möglichen Ansatz bzw. Denkanstoß für die Aufgaben 10a und 10b.

. 10.
a) Vereinfachen Sie folgenden Bruch:
$$ \frac{\frac{1}{2}+i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\frac{1}{2}-i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} $$
b) Zeigen Sie, dass
$$ \left(\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}\right)^{6}+\left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}\right)^{6}=2 $$

Answer 1

a)

$$ \frac{\frac{1}{2}+i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\frac{1}{2}-i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} $$

Mit \({\frac{1}{2}+i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\) erweitern.

b)

Mit 2^6 multiplizieren → ... = 128

Den Zähler in die Polarform umwandeln, Betrag  hoch 6, Winkel mal 6.

Oder:

   Zeige, dass beide Summanden gleich 1 sind.

Comments

Hi,

zuerst mal danke für deine Antwort.

Habe den Bruch erweitert, aber laut Angabe will ich ihn doch vereinfachen?

Habe den Zähler und Nenner einfach mit dem von dir genannten Erweiterungsfaktor multipliziert.

---

Hi,

zuerst mal danke für deine Antwort.

Habe den Bruch erweitert, aber laut Angabe will ich ihn doch vereinfachen?

Habe den Zähler und Nenner einfach mit dem von dir genannten Erweiterungsfaktor multipliziert.

Text erkannt:

\( \frac{\frac{1}{2}+i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\frac{1}{2}-i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{2}+i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
\( =\frac{\left(\left(\frac{1}{2}+i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)^{2}\right.}{\left(\frac{1}{2}-i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) \cdot\left(\frac{1}{2}+i(\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}})\right)} \)

---

Jetzt behandle den Nenner durch Anwendung der 3. binomischen Formel...

---

Also:

1/4 - i² * 3/4

Wäre es somit ausreichend vererinfacht?

---

Nein. Was ist denn i²?

---

i² = -1

1/4 - (-1)*3/4

1/4 + 3/4 = 1

Also ist der Nenner 1?

---

Bingo. Falls du den jetzt nicht noch weiter vereinfachen kannst, darfst du ihn so stehen lassen.

;-)

Den Zähler darfst du aber noch ausmultiplizieren, damit man Real- und Imaginärteil gut erkennen kann.

---

Ausmultipliziert habe ich im Zähler:

1/4 + 2*(1/2*i*sqrt(3)/2) +i² * 3/4

= -1/2 + 2i * sqrt(3) für den Zähler

Und daher der Nenner gleich 1 ist, habe ich als Ergebnis:

-1/2 + 2i * sqrt(3)

Vielen Dank :-) Somit wäre Aufgabe a gelöst

---

Der Imaginärteil ist falsch. Der Faktor 2 müsste durch 0,5 ersetzt werden.

---

Danke für deh Hinweis. Habs nochmal nachgerechnet:

-1/2 + i*sqrt(3)

Das müsste jetzt stimmen, oder?

---

Zu b:

Ich habe den WInkel phi so berechnet:

phi = arctan(sqrt(3)/-1) = -60°

Und für den Betrag:

r=sqrt(a²+b²) = sqrt( -1² + sqrt(3) ) = 1,65

Wenn ich den Betrag hoch 6 nehme bekomm ich 20,39

Und den Winkel mal 6 = 360°

---

r=sqrt(a²+b²) = sqrt( -1² + sqrt(3) ) = 1,65

Das ist leider völlig falsch.

$$r=\sqrt{a²+b²} = \sqrt{( -1)² + (\sqrt 3)^2 } = \sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$$

Beim Winkel musst du beachten, dass der Tangens periodisch mit 180° ist. Daher musst du gucken, in welchem Quadranten die komplexe Zahl zu finden ist. und eventuell 180° addieren.

Realteil negativ und Imaginärteil positiv bedeutet II. Quadrant, also Winkel zwischen 90° und 180°.

-60°+180°=120° 

---

Oh ja danke. Weiß auch nicht wie ich auf 1,65 für r gekommen.

Jetzt ist mein r = 2 und mein phi = 120°

Wie beweis ich jetzt, dass die Summanden gleich 2 sind?