Aufgaben zu Taylorreihe mit f(x)=tan(x) und xo=PI/4

Question

Aufgabe:

$$ \text{ Geben Sie die ersten drei nicht verschwindenden Terme in der Taylorentwicklung der Funktion}\ f \text{  um den Punkt } \textbf{xo} \text{ an: } \\ f(x)=tan(x) \text{ mit }\textbf{  xo=}\frac{\pi}{4}  $$

Frage/Ansatz:

Könnte mir jemand Feedback geben, ob das so richtig wäre?

Was ich nicht genau verstehe, was ist mit " nicht verschwindenden" gemeint?

Und reicht das so, also das Ergebnis oder muss das irgendeine spezielle Form haben, Stichwort: Terme ?

Comments

Beim Berechnen der ersten Ableitung an der Stelle π/4 ist ein Fehler. Statt 1/2 muss da 2 stehen.

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Stimmt, danke. Habs jetzt geändert.

Answer 1

Aloha :)

Ich glaube, du hast dich beim Einsetzen von \(\pi/4\) in die erste Ableitung vertan. Und du hast dir zu viel Arbeit gemacht, weil nur nach den ersten 3 nicht-verschindenden Termen der Taylor-Entwicklung gefragt ist.$$f(x)=\tan (x)\quad\Rightarrow\quad f(\pi/4)=1$$$$f'(x)=1+\tan^2(x)\quad\Rightarrow\quad f'(\pi/4)=2$$$$f''(x)=2\tan(x)(1+\tan^2(x))\quad\Rightarrow\quad f''(\pi/4)=4$$$$\tan(x)\approx1+2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2$$

Comments

Achso, jetzt verstehe ich was damit gemeint ist.

Angenommen, da würde stehen, entwickeln Sie die Glieder bis einschließlich n=4.

Heißt, dass im Zusammenhang mit der Aufgabe dann richtige wäre, oder?

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Die Taylor-Reihe fängt bei Null an zu zählen:$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot(x-x_0)$$Wenn da steht bis \(n=4\) oder bis zur \(4\)-ten Ordnung sind also die ersten 5 Terme gemeint. Hier wollten die Aufgabensteller haben, dass du die ersten 3 nicht-verschwindenden Terme angibst. Das waren die für \(n=0,1,2\). Vermutlich weil die Ableitungen sonst zu fummelig geworden wären.