Summenzeichen Berechnen / vereinfachen

Question

Aufgabe: Berechnen bzw. Vereinfachen Sie die folgenden Summen!

a) \( \sum \limits_{k=20}^{40} k \)
b) \( \sum \limits_{k=20}^{40} \frac{k+1}{2} \)

Hallo, kann man diese beiden Aufgaben irgendwie "vereinfacht" lösen? da K ja nicht auf 1 ist fällt die Formel für 1/2*n(n+1) ja weg, meine Frage is muss ich hier jeden Wert einzeln einsetzen oder kann man hier auch irgendeine vereinfachte Form anwenden?

;)

Answer 1

Hallo,

durch eine Substitution kannst Du den Index \(k\) reduzieren. Ich setze \(k=i+20\), dann wird daraus$$\sum \limits_{k=20}^{40} k = \sum_{i=0}^{20}  (i + 20) = \sum_{i=0}^{20} i \, + \sum_{i=0}^{20} 20$$der erste Term ist nun die Gaußsche Summenformel und der zweite ist schlicht 21 mal 20 - also:$$\dots = \frac {20}2 (20  +1) + 21 \cdot 20 = 630$$

bei b) kann man das geteilt durch 2 und das +1 entfernen$$\sum \limits_{k=20}^{40} \frac{k+1}{2} = \frac 12 \sum \limits_{k=20}^{40} (k + 1) = \frac 12 \left( \sum_{k=20}^{40} k \, + \sum_{k=20}^{40} 1\right) = \dots $$und der ersten Term ist unter a) bereits berechnet$$\dots = \frac 12 \left( 630 + 21 \cdot 1\right)  = 325,5$$

Answer 2

Aloha :)

$$\sum\limits_{k=20}^{40}k=\sum\limits_{k=1}^{40}k-\sum\limits_{k=1}^{19}k=\frac{40^2+40}{2}-\frac{19^2+19}{2}=820-190=630$$$$\sum\limits_{k=20}^{40}\frac{k+1}{2}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=20}^{40}(k+1)=\frac{1}{2}\!\sum\limits_{k=21}^{41}k=\frac{1}{2}\!\left(\sum\limits_{k=20}^{40}k-20+41\right)\!=\frac{1}{2}651=325,5$$

Answer 3

a) Gaußsche Summenformel anwenden (1 bis 40 minus 1 bis 19).

b) Die Summe aufteilen und die 1/2 ausklammern. Dann wie bei a die GSF anwenden.

Comments

Wenn ich für a) Gaußsche Summenformel anwende wäre das doch 1/2*40(/40+1) oder? Dann komme ich aber nicht auf das richtige Ergebnis?

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Dann hättest du noch die Summanden 1-19, die du nicht brauchst.

Answer 4

a) Arithmetische Reihe Start 20, Ziel 40. 21 Summanden mit der Summe (20+40)/2·21.

b) Arithmetische Reihe Start 11,5, Ziel 20,5. 21 Summanden mit der Summe (11,5+20,5)/2·21.