Aloha :)
Komplexe Zahlen potenziert man oft sehr einfach und schnell, indem man sie in Polarform darstellt. Du weisst bereits$$z=-1+i=\sqrt2\cdot e^{i\,\frac{3}{4}\pi}$$Damit kannst du nun die \(8\)-te Potenz bilden:$$z^8=\left(\sqrt2\cdot e^{i\,\frac{3}{4}\pi}\right)^8=\left(\sqrt2\right)^8\cdot\left(e^{i\,\frac{3}{4}\pi}\right)^8=((\sqrt2)^2)^4\cdot e^{i\,\frac{3}{4}\pi\cdot8}=2^4\cdot e^{i\,\frac{24}{4}\pi}=16e^{i\,6\pi}$$Wir können die \(e\)-Funktion noch weiter vereinfachen. In der komplexen Zahlenebene können wir einen Punkt um den Winkel \(2\pi\) um den Ursprung herum drehen und landen wieder an derselben Stelle. Übertragen auf den Exponenten der komplexen \(e\)-Funktion heißt das, wir können zum Winkel beliebig oft \(2\pi\) addieren oder subtrahieren. Subtrahieren wir \(3\)-mal \(2\pi\), finden wir weiter:$$z^8=16\,e^{i(6\pi-3\cdot2\pi)}=16\,e^{0}=16$$
