Beispiel einer reellen Folge ohne konvergente Teilfolge

Question

Kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen? :D Mir fällt tatsächlich keine ein. Ist es nicht so dass jede konvergente Folge auch konvergente Teilfolgen aufweist?

Answer 1

Jede TF einer konvergenten Folge ist auch konvergent.

Comments

Somit kann man schlussfolgern dass jede nicht konvergente Folge auch nur TF aufweist die nicht konvergent sind?

---

Nein, es gibt divergente Folgen, die konvergente Teilfolgen besitzen ( x_n = (-1)^n ) und es gibt Folgen, die keine besitzen (x_n = n ).

---

Alles klar, gehe ich dann recht in der Annahme dass a(n) = (-1)ⁿ eine reelle Folge ohne konvergente Teilfolgen darstellt?

---

Nein, wähle ausschließlich gerade Folgenglieder, man erhält (-1)²ⁿ = 1 (also konvergent) oder ausschließlich ungerade, dann erhält man (-1)²ⁿ⁺¹ = -1 (auch konvergent).

---

Ja stimmt, ich hatte den Begriff der Konvergenz ein wenig falsch verstanden.

Aber was wäre dann denn eine Folge ohne konvergente TF? Ich steh da echt auf dem Schlauch :D

---

Hatte ich oben im meinem ersten Kommentar schon geschrieben, z.B. x_n = n.

---

Aber beispielsweise x_n = 2n konvergiert doch auch gegen unendlich, damit wäre doch eine TF vorhanden die konvergent ist oder nicht?

---

„konvergiert gegen unendlich“ widerspricht sich. Unendlich ist keine reelle Zahl.

---

aber a(n) = n ist dann immernoch eine reelle Folge?

---

Ja, eine reelle Folge bildet \(n \in \mathbb{N}\) nach \(\mathbb{R}\) ab. Aber Unendlich ist keine reelle Zahl und da \(\lim\limits_{n\to \infty} n = \infty\) ist, ist die Folge somit bestimmt divergent.

---

Eine Frage hätte ich dann doch noch, dann wars das aber gewesen :D

Wie zeige ich für jede Teilfolge in a(n) = n dass sie nicht konvergent sind? Reicht es zu zeigen, dass schon eine Teilfolge nicht konvergent ist und das reicht dann als analoger Beweis für alle anderen Teilfolgen in a?

---

Es kommt natürlich darauf an, wie formal der Beweis sein muss. Du könntest die strenge Monotonie und dass a(n) nach oben unbeschränkt ist benutzen. Dann wirst du auch für keine Teilfolge eine obere Schranke finden.