Aloha :)
Gegeben: \(\quad a_{n+1}=4a_n-4a_{n-1}\quad;\quad n\ge1\;\;;\;\;a_0=1\;\;;\;\;a_1=1\)
Wir suchen eine explizite Formel zur direkten Berechnung des Folgengliedes \(a_{n}\). Zu diesem Zweck schreiben wir eine zweite Formel dazu, um ein lineares Gleichungssystem zu erhalten:$$\left.\begin{array}{r}a_{n+1}&=&4a_n&-&4a_{n-1}\\a_n&=&1a_n&+&0a_{n-1}\end{array}\right\}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_n\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{r}4 & -4\\1 & 0\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}a_n\\a_{n-1}\end{pmatrix}$$Die darin noch vorhandene Rekursion wird durch den Startvektor \(\binom{a_1}{a_0}=\binom{1}{1}\) aufgelöst:$$\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_n\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{r}4 & -4\\1 & 0\end{array}\right)^n\cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad n\ge0\qquad[1]$$
Das Standardverfahren zur Berechnung von Matrix-Potenzen ist die Diagonalisierung. Dafür benötigen wir bei einer 2x2-Matrix zwei verschiedene Eigenwerte und Eigenvektoren. Das ist hier leider nicht der Fall. Die Summe der beiden Eigenwerte \(\lambda_1,\lambda_2\) ist gleich der Spur der Matrix und das Produkt der beiden Eigenwerte ist gleich der Determinante der Matrix. Das heißt:$$\lambda_1+\lambda_2=4+0=4\quad;\quad\lambda_1\cdot\lambda_2=4\cdot0-1\cdot(-4)=4\quad\Rightarrow\quad \lambda_1=\lambda_2=2$$Aber ganz vergeblich war diese Berechnung nicht, wenn man sich den Eigenvektor \(\vec v\) anschaut:$$\vec 0\stackrel{!}{=}\left(\begin{array}{r}4-2 & -4\\1 & 0-2\end{array}\right)\binom{v_1}{v_2}=\begin{pmatrix}2 & -4\\1 & -2\end{pmatrix}\binom{v_1}{v_2}\quad\Rightarrow\quad\vec v=\binom{2}{1}$$Mit dem Eigenwert \(\lambda=2\) und dem Eigenvektor \(\vec v=\binom{2}{1}\) kann man Gl. \([1]\) umschreiben:$$\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_n\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{r}4 & -4\\1 & 0\end{array}\right)^n\left(\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right)$$$$\phantom{\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_n\end{pmatrix}}=\underbrace{\left(\begin{array}{r}4 & -4\\1 & 0\end{array}\right)^n\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}_{=2^n\binom{2}{1}}-\left(\begin{array}{r}4 & -4\\1 & 0\end{array}\right)^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_n\end{pmatrix}=2^n\binom{2}{1}-\left(\begin{array}{r}4 & -4\\1 & 0\end{array}\right)^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad n\ge0\qquad[2]$$
Bleibt die Berechnung von$$\vec b_n:=\left(\begin{array}{r}4 & -4\\1 & 0\end{array}\right)^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$Um eine Idee für den Wert zu kriegen, rechnen wir die ersten Folgenglieder aus:$$\binom{1}{0}\;;\;\binom{4}{1}\;;\;\binom{12}{4}\;;\;\binom{32}{12}\;;\;\binom{80}{32}\;;\;\binom{192}{80}\;;\;\dots\;;\;\binom{2^n(n+1)}{2^{n-1}n}$$Beweis durch vollständige Induktion:
Verankerung bei \(n=0\):$$b_n=b_0=\binom{1}{0}=\binom{2^0\cdot(0+1)}{2^{0-1}\cdot0}=\binom{2^n\cdot(n+1)}{2^{n-1}\cdot n}\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$\vec b_{n+1}=\left(\begin{array}{r}4 & -4\\1 & 0\end{array}\right)\vec b_n$$$$\phantom{\vec b_{n+1}}=\left(\begin{array}{r}4 & -4\\1 & 0\end{array}\right)\binom{2^n\cdot(n+1)}{2^{n-1}\cdot n}=\binom{4\cdot2^n\cdot(n+1)-4\cdot2^{n-1}\cdot n}{1\cdot2^n\cdot(n+1)}$$$$\phantom{\vec b_{n+1}}=\binom{2^{n+1}\cdot(2n+2)-2^{n+1}\cdot n}{2^n\cdot(n+1)}=\binom{2^{n+1}\cdot(n+2)}{2^n\cdot(n+1)}\quad\checkmark$$
Das Ergebnis setzen wir noch in Gl. \([2]\) ein:$$\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_n\end{pmatrix}=2^n\binom{2}{1}-\binom{2^n(n+1)}{2^{n-1}n}=\binom{2^n(2-n-1)}{2^{n-1}\cdot2-2^{n-1}n}=\binom{2^n(1-n)}{2^{n-1}(2-n)}$$Lange Rechnung, kurzes Ergebnis:$$\boxed{a_{n}=-2^{n-1}(n-2)\quad;\quad n\ge0}$$
Man hätte das auch wesentlich kürzer rechnen können. Aber weil Minaaa_123 explizit geschrieben hat, sie wisse nicht, wie das geht, wollte ich das Standardverfahren zur Lösung zumindest so weit wie möglich anwenden. Leider war die Matrix nicht diagonalisierbar und ich musste beim Rest der Lösung imrpovisieren ;)
