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Ich hoffe euch allen geht es soweit gut.
Die Aufgabe lautet wie folgt:

Nun sei \(a_r\) eine reelle Folge definiert durch \(a_r(0):=r\) und \( a_r(n+1) := 2a_r(n)-1\).Bestimmen sie die Menge aller \(x \in \mathbb{R}\), für die es \(r \in \mathbb{R}\) gibt mit \(a_r(n) \rightarrow_{n \rightarrow \infty} x\).

Meine Idee lautet:

\(r\) ist eine feste reelle Zahl und der Startpunkt der rekursiven Folge. Diese Folge konvergiert gegen ein bestimmtes \(x\).D.h. zu jedem \(r\) existiert eine Folge \(a_r\), welche bei \(a_r(0):=r\) beginnt und gegen ein \(x\) konvergiert.

Meine Frage:

Soll man nun die jenigen Grenzwerte \(x\) herausfinden, bei denen die Folge \(a_r\) je nach der Wahl von \(r\) konvergiert.

Die Aufgabe welche danach kommt ist ein wenig verwirrend. Diese lautet:

Berechnen Sie \(\{ r \in \mathbb{R} | a_r \text{ konvergiert} \}\).

Dies bedeutet ja, dass die \(r\), für die das gilt, hier in dieser Aufgabe zu berechnen sind oder??
Ich bedanke mich für Ideen, Ansätze und Verbesserungsvorschläge.

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1 Antwort

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Hallo

 schreib mal die ersten paar auf, dann siehst du hoffentlich ar(n)=2^n*r -(2^n-1)

jetzt überlege für welche r das konvergieren kann .

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Danke für deinen Ansatz.

wäre das r dann gleich:

\(r= 2^{-n} (-1 + 2^n)\)?

Hallo

 r kann und darf doch nicht von n abhängen?

Hast du bewiesen, dass das die richtige Formel ist.

lul

wenn ich das richtig sehe konvergiert die Folge für alle r. Es gibt drei verschiedene Fälle die man betrachten muss, wenn man die Konvergenz angeben will.Damit beinhaltet die Menge also ar für alle r in R oder?

LG

Hallo

wie "siehst" du das?

 setz doch mal in ar(n)=2^n*r -(2^n-1) r =2 ein

dann hast du a2(n) =2*2^n-2^n+1=2^n+1  konvergiert das? nimm ein anderes r=5  oder r=1/2 wenn es konvergiert solltest du ja wohl einen GW angeben können?

lul

Ps: nochmal:Hast du bewiesen, dass das die richtige Formel ist.

Bewiesen habe ich es nicht. Da fehlt mir die Idee.

Hatte die rekursive Formel bei Wolfram alpha eingegeben und das ergebnis kam raus.

danach habe ich Überlegt gehabt für welche r das konvergieren kann.


Hab bei der Aufgabe wirklich keinen Überblick. Danke nochmal für deine Hilfe.

Gruß Matlab4Life


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