Minimales Erzeugendensystem angeben

Question

Ich kannte diesen Begriff "Erzeugendensystem" bisher nur in Zusammenhang mit Vektoren.
Es heißt ja das das Erzeugendensystem eine Teilemenge U von einer bestimmten obermenge z.B M ist und alle Elemente aus M durch das Erzeugendensystem gezeigt werden können, oder?

Deswegen hier die Frage:

Wie kann man aus so einer Verknüpfungstafel das minimale Erzeugendensystem angeben?

Edit: Weil ich glaube die Tabelle zeigt es nicht richtig an:

*	a	b	c	d
a	b	c	d	a
b	c	d	a	b
c	d	a	b	c
d	a	b	c	d

Gruß

~naili

Answer 1

Hallo naili,

ohne Gewähr für die Richtigkeit meiner Aussage würde ich nach der Definition von 'Erzeugendensystem'

Def.: Ist \(G\) eine Gruppe, dann heißt eine Teilmenge \(E \subseteq G\) ein Erzeugendensystem von \(G\), wenn sich jedes Element \(g \in G\) als endliches Produkt von Elementen aus \(E\) und deren Inversen darstellen lässt.

siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugendensystem#Definition_2

sagen, dass in diesem Fall  \(E = \{ a \}\) ist, da \(b = a^2\), \(c = a^3\) und \(d = a^4\).

Comments

Vielen dank! Das heißt nach diesem Prinzip kann man bei solchen Aufgaben immer vorgehen?

Also z.B. In der Tabelle schauen, welches Element mit sich selbst ein anderes Element erzeugt, und dann ausgehend von diesem weiter suchen. Oder falls es nicht nur ein Element genügt um ein Erzeugendensystem zu erstellen, dann versuchen die Elemente so zu kombinieren, dass jedes aus dem abgeschlossenen System herauskommen kann/ dargestellt werden kann?

Das da unten war nur für mich zum Verständnis, so kann man das ja machen, oder?

a*a = b

a*a*a = b*a = c

a*a*a*a = c*a = d

---

Ja und ja! ;-)

Answer 2

Hier lässt sich jedes Element durch mehrfache Verknüpfung von a

mit sich selbst darstellen

a*a=b  a*a*a=c und a*a*a*a=d

Deshalb ist {a} ein minimales Erz.syst.