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Aufgabe:

Liebe Leute,

ich benötige Hilfe bei der folgenden kleinen Übungsaufgabe:

Geben Sie ein minimles Erzeugendensystem an für den Vektorraum, der durch die Vektoren

u = (1, 2, 8), v = (-1, 5, 2) und w = (2, 4, 16) aufgespannt wird. Welche Dimendion hat der Vektorraum?


Problem/Ansatz:

zum 2. Aufgabenteil:

- da w (2, 4, 16)  = 2 * u (1, 2 , 8) gilt sind diese beiden Vektoren linear abhängig.

u und w sind jedoch jeweils loneaer unabhängig zu v. Damit spannen u, v, w eine Ebene in R³ auf.


zum 1. Aufgsbenteil:

Ansatz für ein minimales Erzeugendensystem bzw. Basis:      t = (0, 0, 1)

somit: Alpha * t + Beta * u + gamma * v + delta * w = V

somit ist folgende Matriz zu lösen: [ 1 -1  2  0 I 0 ]                                                     

                                                        [ 2  5  4  0 I 0 ]

                                                        [ 8 2 16  1 I 0 ]



Ich bin mir nicht sicher, ob der Ansatz mit dem LGS so richtig ist?

Kann mir jemand weiterhelfen? Vielen Dank im Voraus!


LG Pi(mp)master314

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Beste Antwort



- da w (2, 4, 16)  = 2 * u (1, 2 , 8) gilt sind diese beiden Vektoren linear abhängig.

u und v sind jedoch jeweils linear unabhängig. Damit spannen u, v, w einen

2-dimensionalen Unterraum von R³ auf.

Und damit ist u,v ein minimales Erzeugendensystem.

Avatar von 289 k 🚀

Vielen Lieben Dank für die zügige Antwort. Manchmal ist die Lösung doch ziemlich trivial :D.


LG Pi(mp)master314

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Aloha :)

Ich würde die linearen Abhängigkeiten aus den Vektoren durch elementare Spaltenumformungen herausrechnen:$$\begin{array}{rrr} & +S_1 & -2S_1\\\hline1 & -1 & 2\\2 & 5 & 4\\8 & 2 & 16\end{array}\to\begin{array}{rrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \\\hline1 & 0 & 0\\2 & 7 & 0\\8 & 10 & 0\end{array}$$Damit sind wir schon fertig. Es bleiben 2 linear unabhängige (wegen der 1-ten Koordinate) Basisvektoren für den Vektorraum übrig. Die Dimension ist daher 2.

Avatar von 152 k 🚀

So ein Riesenaufwand für eine Sebstverständlichkeit:

Nachdem man schon weiß, dass man w aus der Menge der Erzeuger

weglassen kann, geht es doch nur noch um die

lineare Unabhängigkeit von u und v und da weder u ein Vielfaches

von v, noch v ein Vielfaches von u ist, ist man fertig.

Stimmt, ein Rechenschritt ist wirklich viel Aufwand.

Dafür wird dem Fragensteller aber das Prinzip klar.

Ja, das stimmt.

Danke für die Antwort, auch die Ausführlichkeit. War zum Verständnis in jedem Fall nochmal gut ;)

LG Pi(mp)master314

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