Minimales Erzeugendensystem gesucht!

Question

Aufgabe:

Liebe Leute,

ich benötige Hilfe bei der folgenden kleinen Übungsaufgabe:

Geben Sie ein minimles Erzeugendensystem an für den Vektorraum, der durch die Vektoren

u = (1, 2, 8), v = (-1, 5, 2) und w = (2, 4, 16) aufgespannt wird. Welche Dimendion hat der Vektorraum?

Problem/Ansatz:

zum 2. Aufgabenteil:

- da w (2, 4, 16)  = 2 * u (1, 2 , 8) gilt sind diese beiden Vektoren linear abhängig.

u und w sind jedoch jeweils loneaer unabhängig zu v. Damit spannen u, v, w eine Ebene in R³ auf.

zum 1. Aufgsbenteil:

Ansatz für ein minimales Erzeugendensystem bzw. Basis:      t = (0, 0, 1)

somit: Alpha * t + Beta * u + gamma * v + delta * w = V

somit ist folgende Matriz zu lösen: [ 1 -1  2  0 I 0 ]                                                     

                                                        [ 2  5  4  0 I 0 ]

                                                        [ 8 2 16  1 I 0 ]

Ich bin mir nicht sicher, ob der Ansatz mit dem LGS so richtig ist?

Kann mir jemand weiterhelfen? Vielen Dank im Voraus!

LG Pi(mp)master314

Answer 1

- da w (2, 4, 16)  = 2 * u (1, 2 , 8) gilt sind diese beiden Vektoren linear abhängig.

u und v sind jedoch jeweils linear unabhängig. Damit spannen u, v, w einen

2-dimensionalen Unterraum von R³ auf.

Und damit ist u,v ein minimales Erzeugendensystem.

Comments

Vielen Lieben Dank für die zügige Antwort. Manchmal ist die Lösung doch ziemlich trivial :D.

LG Pi(mp)master314

Answer 2

Aloha :)

Ich würde die linearen Abhängigkeiten aus den Vektoren durch elementare Spaltenumformungen herausrechnen:$$\begin{array}{rrr} & +S_1 & -2S_1\\\hline1 & -1 & 2\\2 & 5 & 4\\8 & 2 & 16\end{array}\to\begin{array}{rrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \\\hline1 & 0 & 0\\2 & 7 & 0\\8 & 10 & 0\end{array}$$Damit sind wir schon fertig. Es bleiben 2 linear unabhängige (wegen der 1-ten Koordinate) Basisvektoren für den Vektorraum übrig. Die Dimension ist daher 2.

Comments

So ein Riesenaufwand für eine Sebstverständlichkeit:

Nachdem man schon weiß, dass man w aus der Menge der Erzeuger

weglassen kann, geht es doch nur noch um die

lineare Unabhängigkeit von u und v und da weder u ein Vielfaches

von v, noch v ein Vielfaches von u ist, ist man fertig.

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Stimmt, ein Rechenschritt ist wirklich viel Aufwand.

Dafür wird dem Fragensteller aber das Prinzip klar.

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Ja, das stimmt.

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Danke für die Antwort, auch die Ausführlichkeit. War zum Verständnis in jedem Fall nochmal gut ;)

LG Pi(mp)master314