Sei K = Q oder F2 und sei.... Finde ein minimales Erzeugendensystem

Question

. 

Ich stehe vor der folgenden Aufgabe:

Sei K = Q oder F_(2) und sei

S: = { \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\1\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\1\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\1\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \) } ⊂ K^{5}.

Finde ein minimales Erzeugendensystem S' ⊂ S von ⟨S⟩.

Nun war der erste Schritt diese Vektoren in eine Matrix zu überführen.

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \)

Idee:
Von hier aus versuche ich per Gauss die ZSF zu erreichen, danach wollte ich versuchen, wenn es solche gibt, freie Splalten ausfindig zu machen und die zu betrachten, bis ich eine Saubere ZSF habe. 

Problem
Da wir uns im Körper F2 bewegen, weiss ich nicht wie ich bei der Elimination die erste Zeile von der zweiten subtrahiere.

Beispiel:

II - I = (1-1) , (0-0) , (1-0) , (0-1) , (0-1)

Was ich erwarte:

1-1 = 0 
0-0 = 0
1-0 = 1
0-1 = -1 
0-1 = -1

Frage 
-1 ist ja im F2 nicht enthalten, ergibt das jetzt 0 oder ergibt das 1 ? 

Ich komme auf Folgende Matrix

1 0 0 1 1

0 1 0 0 1

0 0 1 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 

Comments

Ich sehe dass ab der dritten Spalte die ZSF nicht mehr geht.
Und dass die Zeile IV und V = 0 sind 

Ist daher dass minimale Erzeugendensystem:

(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)

?

Answer 1

Hallo limonade,

Ist daher dass minimale Erzeugendensystem:
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
?

Nein, dass heißt nur, dass Dein Erzeugendensystem den Rang 3 hat. Das heißt, man kann drei der fünf Vektoren oder eine Linearkombination dieser Vektoren auswählen,um das minimale Erzeugendensystem zu bilden. Die Frage ist, welcher Vektor gehört rein und welcher nicht?

Der dritte Vektor hat nur eine 1 in seinen Koordinaten und es gibt kein Vielfaches, so würde ich den auf jeden Fall rein nehmen. Addiert man den vierten und fünften Vektor, so ist das Ergebnis der zweite. Einer von diesen Dreien muss also raus. Und die Summe vom ersten und vom vierten, gibt wieder den dritten. Also der vierte fliegt raus und der erste, weil er am meisten 1'en enthält auch (das spart später Rechenarbeit). Den Rest sortiere ich um $$S' = \left\{\begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\1\\0 \end{pmatrix} \right\} \subset S$$

und prüfe es noch mal: $$\begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0\\ 1&0&1 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{array} \rightarrow \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0\\ \colorbox{#ffff88}{0}&0&1 \\ 0&0&1 \\ \colorbox{#ffff88}{0}&0&0 \end{array} \rightarrow \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0\\ 0&0&1 \\ 0&0&\colorbox{#ffff88}{0} \\ 0&0&0 \end{array}$$ das passt, der Rang von 3 bleibt erhalten.

Noch ein Tipp: im \(\mathbb{F}_2\) brauchst Du nur addieren; und 1+1=0. Mehr ist nicht notwendig.

-1 ist ja im F2 nicht enthalten, ergibt das jetzt 0 oder ergibt das 1 ?

das ergibt eine \(1\).

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank,

Ich habe den ersten, den zweiten und den dritten Vektor als minimales Erz. System. Ist das falsch ?

Also nicht die, die in Zeilenstufenform sind, sondern die Ursprünglichen aus der Aufgabenstellung.

Ich denke weil ich den ersten drin habe, (er hat viele Einsen) gibt das viel Rechenarbeit.

Achja, was meibst du mit “erspart viel Rechenarbeit”. Muss man, wenn die Vektoren die man als minimales Erz. System per ZSF gewäht hat bzw. vermutet dann per

r1*v1 + r2*v2 + r3*v3 = 0

⇒ r1 = r2 = r3 = 0

zeigen oder besser gesagt bestätigen?  (Wobei rn aus R ist und vn aus V.) Oder reicht es sie mit der ZSF und den freien Spalten zeigen ?

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Ich habe den ersten, den zweiten und den dritten Vektor als minimales Erz. System. Ist das falsch?

Nein - Du kannst jede Dreierkombination wählen, die linear unabhängig ist.

Achja, was meinst du mit “erspart viel Rechenarbeit”.

ich hatte da schon vor, die drei gewählten Vekroen nochmal auf lineare Unabhängigkeit zu überprüfen. Und umso mehr Nullen in den Vektoren stehen desto weniger ist bei der Umwandlung in die ZSF zu tun. Und 'viel' wäre übertrieben.

Muss man, wenn die Vektoren die man als minimales Erz. System per ZSF gewäht bzw. vermutet hat, dann nochmal die lineare Unabhängigkeit zeigen?

Vermutlich muss man das gar nicht, ich bin mir aber nicht sicher.