Grenzwert einer Funktion gegen eine Zahl berechnen

Question

:)

Die Aufgabe: Überprüfen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren. Falls ja, geben Sie den Grenzwert an

\( \lim\limits_{x\to3}  \frac{|x-3|}{9-x^2} \)

So wäre ich vorgegangen:

f(3)=\( \frac{0}{0} \) also existiert eine behebbare Definitionslücke mit Grenzwert, insofern das hier stimmt was ich im Internet gefunden hab: www.feuerbachers-matheseite.de/Grenzwerte_Stelle.pdf (erste Seite ganz unten, zweite Seite ganz oben).

Nun zur eigentlichen "Rechnung":

\( \lim\limits_{x\to3}  \frac{|x-3|}{9-x^2} = \lim\limits_{x\to3}  \frac{|x-3|}{(3+x)*(3-x)}  =  \frac{|\lim\limits_{x\to3}(x)  -  \lim\limits_{x\to3}(3)|}{(\lim\limits_{x\to3}(3) + \lim\limits_{x\to3}(x)) * (\lim\limits_{x\to3}(3) - \lim\limits_{x\to3}(x))} = \frac{|1-3|}{(3+1)*(3-1)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) 

Somit beträgt der Grenzwert \( \lim\limits_{x\to3}  \frac{|x-3|}{9-x^2} =\frac{1}{4} \)

Stimmt es denn nach Feuerbachers Matheseite, dass lim(x)=1 ist? Das hab ich ja oben in der Gleichung benutzt, fand ich aber eher merkwürdig..

Mein Problem am ganzen: WolframAlpha sagt, dass es dort keinen Grenzwert gibt.. Wo hab ich fehler gemacht, habt ihr sonst Tipps dazu?

Freundlich Grüße und Vielen Dank!!

Comments

Lass dir die Funktion grafisch darstellen, dann siehst du, dass es keine hebbare Lücke gibt.

Es gibt unterschiedliche Werte, je nach dem, ob man sich von links oder von rechts annähert.

Da muss man eine Fallunterscheidung machen.

Answer 1

also existiert eine behebbare Definitionslücke mit Grenzwert

Das ist wie in der pdf beschrieben eine notwendige, aber sicherlich keine hinreiche Bedingung;
"(das genügt aber noch nicht!)".

D.h. \(\lim\limits_{x\to 3^-} \dfrac{|x-3|}{(3-x)(3+x)} = \lim\limits_{x\to 3^-} \dfrac{-(x-3)}{(3-x)(3+x)} = \lim\limits_{x\to 3^-} \dfrac{1}{(3+x)}\)

Analog dazu ist der rs. Grenzwert zu betrachten.

Comments

Danke Larry, aber wie kommst du von |x-3| zu -(x-3) und was bedeutet das "-" bei lim x->3- ?

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Oder meinst du ich muss noch das gleiche für (x-3) durchführen?

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Für x<3 ist x-3 negativ. Deshalb - (x-3).

Und 3- bedeutet 'Annäherung von links'

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Larrys Rechnung ist richtig. Für x>3 muss vor dem Bruch dann ein Minus stehen.

Answer 2

Linksseitiger Grenzwert +1/6

Rechtsseitiger Grenzwert - 1/6

Also gibt es keinen Grenzwert.

Comments

Ich hab einmal unendlich und einmal - 1/6 raus. Weil müsste bei Larry es nicht 1/(3-x) heißen?

Und es gibt keinen Grenzwert, da der rechtsseitige sich vom linksseitigen Unterscheidet, richtig?

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-(x-3)=3-x

Kürzen

Answer 3

Fallunterscheidung
für x > 3 ist | x - 3| : x - 3
( x -3 ) / [ ( x - 3 ) * ( x + 3 )] = 1 / ( x + 3 ) = 1/ 6
für x < 3 ist | x - 3| : ( x - 3) * (-1)
[ ( x -3 ) * (-1) / [ ( x - 3 ) * ( x + 3 )] = -1 / ( x + 3 ) = - 1/ 6

Comments

danke!

Diese Fallunterscheidung macht man immer bei Beträgen oder?

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Fast immer. Fülltext.