Nullstellen und globaler Verlauf einer ganzrationalen Funktion

Question

Ich verstehe das nicht.

Nullstellen und globaler Verlauf einer ganzrationalen Funktion
Gegeben sind die folgenden Funktionen f(x)=x^2 (x–4)(x–2)(x+3) und g(x)=x^3 –3x^2 –x3

Bestimme die Nullstellen von f, die Art der Nullstellen (ob mit oder ohne VZW), das Verhalten der Funktion für x–> ∞ und x –> – ∞ und skizziere den globalen Verlauf der Funktion.

Bestimme die Nullstellen von g, die Art der Nullstellen (ob mit oder ohne VZW), das Verhalten der Funktion für x–> ∞ und x –> – ∞ und skizziere den globalen Verlauf der Funktion.

Answer 1

Satz vom Nullprodukt c=a*b hier c=0 wenn a=0 oder b=0 oder a=b=0

f(x)=x²*(x-4)*(x-2)*(x+3)

x1=0  → 0²=0

x2=4  → 0=x-4

x3=2 → 0=x-2

x4=-3 → 0=x+3

ausmultipliziert f(x)=x^5-3*x^4-10*x³+24*x²

bei sehr großen x-Werte überwiegt x^5  gegenüber den anderen Termen

x →+∞  dann x^5=positive  f(x)=positiv  geht im I Quadranten nach oben

x →-∞ dann x^5=negativ f(x)=negativ ghet im III Quadranten nach unten

g(x)=x³-3*x²-3*x=x*(x²-3*x+3)  x1=0  und 0=x²-3*x+3 Nullstellen mit der p-q-Formel

x1,2=-p/2+/Wurzel((p/2)²-q)

p=-3 und q=3

x2,3=-(-3)/2+/-Wurzel((-3/2)²-3)=1,5+/-Wurzel(2,25-3)

der Radikant (2,25-3=-0,75<0 → keine reelle Nullstelle  nur 2 konjugiert komplexe Lösungen

z1=1,5+i 0,866.. und z2=1,5-i 0,866 siehe Mathe-Formelbuch komplexe Zahlen

auch hier überwiegt x³ bei sehr großen x-Werten

x → +∞  x³=positiv  f(x)=positiv  geht im I Quadranten nach oben

x → -∞  x³=negativ f(x)=negativ geht im III Qadranten nach unten

~plot~x^5-3*x^4-10*x^3+24*x^2;x^3-3*x^2-3*x;[[-10|10|-100|100]]~plot~