Position auf der Niveaulinie durch Winkel parametisieren; Richtungsableitung für jede Position radial nach außen

Question

Ein Gebirge wird betrachtet, welches durch $f: R² \rightarrow R$ mit $f(x,y)=-x²-y²+5$

Begründe, dass die Position der Person auf der Niveaulinie durch einen Winkel $\theta \in[0 ; 2 \pi)$ vermöge $(x ; y)=(\cos (\theta) ; \sin (\theta))$ parametrisiert werden kann.

Gebe für jede Position $(x ; y)$ auf der Niveaulinie $z=1$ die Richtungsableitung für den Fall an, dass die Person immer radial nach außen schaut. Drücken Sie hierzu den Richtungsvektor $\vec{v}_{r}$ durch den Winkel $\theta$ aus der vorherigen Teilaufgabe aus.

Die Person steht nun fest an der Stelle $(x,y)=(1,;1)$ im Gebirge und dreht sich einmal um sich selbst im Kreis. Stelle diese Drehung wieder mit einem Winkel $\theta$ dar und bestimme diejenigen Werte von $\theta$ mit dem größten bzw. kleinsten Gellte, welches die Person wahrnimmt.

Über Hilfe würde ich mich freuen! :-)

Comments

Von neuer Version

Titel: Winkel zu einer Niveaulinie

Stichworte: kreis,winkel,steigung

Aloha

Folgende Funktion ist gegeben:

f(x,y)=-x²-y²+5    (f: R -> R²)

a)Meine Vorstellung ist, dass eine Person auf der Niveaulinie mit z=1 ist. Nun will ich begründen, dass die Position dieser Person durch einen Winkel θ∈[0,2π) mit (x,y)=(cos(θ),sin(θ)) parametisiert werden kann

b) Jetzt steht die Person fest bei (x,y)=(1,1) und dreht sich um sich selbst. Diese Drehung kann ich wieder mit einem Winkel θ darstellen und will die Werte, mit dem für die Person größtem bzw. kleinsten Gefälle, bestimmen.

Ich habe den "Berg" schonmal als Grafik angeguckt, aber wie gehe ich jetzt an diese Winkelaufgaben ran?

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"Steht" die fragliche Person in Richtung des Vektors (0,0,1) ?

Die fragliche Niveaulinie hast du anscheinend https://www.wolframalpha.com/input/?i=-x%C2%B2-y%C2%B2%2B5+%3D+1+ 

Text erkannt:

$$-x^{2}-y^{2}+5=1$$
Sa Extended Keyboard $\quad$ 土 Upload
Input
$-x^{2}-y^{2}+5=1$
Geometric figure:
circle
Implicit plot:
$y$
1
$\left.-\frac{(1}{-1}\right)^{1}$
$r^{2}$
Alternate forms:
$-x^{2}-y^{2}=-4$
$-x^{2}-y^{2}+4=0$

Ich habe den "Berg" schonmal als Grafik angeguckt, aber wie gehe ich jetzt an diese Winkelaufgaben ran?

Mehr Bildchen https://www.wolframalpha.com/input/?i=-x%C2%B2-y%C2%B2%2B5+%2C+1+

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In welche Richtung sie steht weiß ich nicht, aber sie müsste ja senkrecht auf der Niveaulinie stehen.

Und ja, die Niveaulinie habe ich.

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Ich hätte vielleicht nach dem Gravitationszentrum fragen sollen.

Berg in "flacher" Umgebung oder ist zu berücksichtigen, dass Australier und Franzosen vom Mond aus gesehen nicht "gleichgerichtet" auf der Welt stehen?

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Aloha :)

Genau diese Frage habe ich gestern für jemand anders beantwortet:

https://www.mathelounge.de/722220/position-niveaulinie-parametisiere…

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Achso, nein dieses "Person auf einem Berg" dient denke ich nur zur Veranschaulichung

Also wenn dann ersteres, ein Berg in flacher Umgebung

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Gut. Ich vermute, dass du mit der Antwort von Tschaka etwas anfangen kannst ;)

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Oh jetzt erst gesehen ^^'

Danke Tschakabumba

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist die Funktion:$$f:\mathbb{R^2}\to\mathbb{R}\,,\,f(x,y)=-x^2-y^2+5$$Wir können jeden Punkt $(x|y)$ in der $xy$-Ebene beschreiben, indem wir um den Nullpunkt $(0|0)$ des Koordinatensystems einen Kreisbogen mit Radius $r=\sqrt{x^2+y^2}$ ziehen, der den Punkt $(x|y)$ enthält. Die Verbindungslinie vom Nullpunkt zum Punkt $(x|y)$ schließt dann mit der $x$-Achse einen Winkel ein, den wir $\vartheta$ nennen. Die Darstellung ist dann:$$\binom{x}{y}=r\binom{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}\quad;\quad r=\sqrt{x^2+y^2}\quad;\quad\vartheta=\left\{\begin{array}{l}\arctan\left(\frac{y}{x}\right)&;&x>0\\\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\pm\pi&;&x<0\end{array}\right.$$Mit diesen sog. "Polarkoordinaten" können wir die Funktion umschreiben:$$f(r,\vartheta)=-(r\cos\vartheta)^2-(r\sin\vartheta)^2+5=-r^2(\sin^2\vartheta+\cos^2\vartheta)+5=-r^2+5$$Die gesuchte Richtungsableitung mit Blick nach Außen ist:

$$\partial_{\vec v_r}f=\operatorname{grad}(-x^2-y^2+5)\cdot\binom{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}=\binom{-2x}{-2y}\cdot\binom{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}$$$$\phantom{\partial_{\vec v_r}f}=\binom{-2r\cos\vartheta}{-2r\sin\vartheta}\cdot\binom{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}=-2r\cos^2\vartheta-2r\sin^2\vartheta$$$$\phantom{\partial_{\vec v_r}f}=-2r\underbrace{(\cos^2\vartheta+\sin^2\vartheta)}_{=1}=-2r$$Aus der Darstellung $f(r,\vartheta)=-r^2+5$ entnehmen wir, dass die Niveaulinie $z=1$ für $r=2$ erreicht wird. Speziell auf der Niveaulinie $z=1$ beträgt die Richtungsableitung:$$\partial_{\vec v_r}f(z=1)=-4$$

Nun steht der Beobachter an Position $(1|1)$. Um wieder Polarkoordinaten verwenden zu können, verschieben wir das Gebirge so, dass der Beobachter wieder am Ursprung steht. Daraus resultiert eine neue "Gebirgs-Funktion":$$g(x,y)=-(x-1)^2-(y-1)^2+5$$

Wie im ersten Teil bestimmen wir die Richtungsableitung in Radialrichtung, also den Anstieg, den der Beobachter wahrnimmt, wenn er sich um den Winkel $\vartheta$ gedreht hat:

$$\partial_{\vec v_r}g=\operatorname{grad}\left(-(x-1)^2-(y-1)^2+5\right)\cdot\binom{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}=\binom{-2(x-1)}{-2(y-1)}\cdot\binom{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}$$$$\phantom{\partial_{\vec v_r}g}=\binom{-2r\cos\vartheta+2}{-2r\sin\vartheta+2}\cdot\binom{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}=-2r\cos^2\vartheta-2r\sin^2\vartheta+2\cos\vartheta+2\sin\vartheta$$$$\phantom{\partial_{\vec v_r}g}=-2r\underbrace{(\cos^2\vartheta+\sin^2\vartheta)}_{=1}+2(\cos\vartheta+\sin\vartheta)=-2r+2(\cos\vartheta+\sin\vartheta)$$

Wir suchen noch die Drehwinkeln $\vartheta$, wo der Beobachter extremales Gefälle wahrnimmt:$$0\stackrel{!}=\frac{\partial}{\partial\vartheta}\left(\partial_{\vec v_r}g\right)=-2\sin\vartheta+2\cos\vartheta\quad\Leftrightarrow\quad\sin\vartheta\stackrel{!}{=}\cos\vartheta\quad\Leftrightarrow\quad \tan\vartheta\stackrel{!}{=}1$$Extremales Gefälle sieht der Beobachter als bei $\vartheta=\frac{\pi}{4}$ und bei $\vartheta=\frac{5\pi}{4}$ [die $\tan$-Funktion ist $\pi$-periodisch.]

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Super, danke! :-)