Analysis Ableitung der Umkehrfunktion

Question

Aufgabe
g: R → R, g(x) = 3x⁵ − 10x³ + 15x − 1 besitzt eine stetige Umkehrfunktion f : R → R.

Bestimmen Sie wo f differenzierbar ist und berechnen Sie f'(−1)

Grundsätzlich weiß ich wie man eine Funktion umkehren kann aber bei dieser Funktion kriege ich das nicht so hin...

Wie sieht für diese Funktion die Umkehrfunktion aus und wie muss ich vorgehen ?

Comments

berechnen Sie f'(−1)

meinst du $$f^{-1}$$ ? Ansonsten hat das ja nix mit der Ableitung der Umkehrfunktion zu tun.

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Hallo Lysop,
ich denke das du richtig geschrieben hast.
g ( x ) = Funktion
f ( x ) = Umkehrfunktion
f ´( -1 ) ist die Steigung der Umkehrfunktion
an der Stelle x = -1

Der Clou ist das man die Umkehrfunktion
gar nicht bilden braucht um auf die Lösung
zu kommen.

Ich bin jetzt aber zu müde und mache morgen
weiter.

mfg Georg

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Ich bin jetzt aber zu müde und mache morgen
weiter.

Das wäre sehr hilfreich, danke!

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist die Funktion:$$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\,g(x)=3x^5-10x^3+15x-1$$Gesucht ist die Ableitung der Umkehrfunktion \(f(x)\) an der Stelle \(x=-1\). Das Berechnen der Umkehrfunktion ist hier nicht explizit nötig. Dazu folgende Idee. Da \(f\) und \(g\) Umkehrfunktionen zueinander sind, macht die eine die Wirkung der anderen rückgängig. Für alle \(x\) aus dem Definitionsbereich der Umkehrfunktion gilt daher:$$g(\,f(x)\,)\equiv x$$Wir leiten beide Seiten der Gleichung ab, wobei links die Kettenregel zum Einsatz kommt:$$g'(\,f(x)\,)\cdot f'(x)=1$$$$f'(x)=\frac{1}{g'(\,f(x)\,)}=\frac{1}{15f^4(x)-30f^2(x)+15}=\frac{1}{15\left[f^2(x)-1\right]^2}$$Die Umkehrfunktion \(f\) ist offenbar genau dann differenzierbar, wenn \(f(x)\ne\pm1\) ist.

Wegen \(g(0)=-1\) ist \(f(-1)=0\), was \(\ne\pm1\) ist, sodass die Ableitung exisitert:$$f'(-1)=\frac{1}{15(0^2-1)^2}=\frac{1}{15}$$

Answer 2

Hallo,

achso bei dir ist ja g die gegebene Funktion und f soll die dazugehörige Umkehrfunktion sein.

Bestimmen Sie wo f differenzierbar ist

da, wo g differenzierbar ist und g'(x)=0 nicht gilt. Das wäre dann x≠±1

f'(−1)

kannst du mit der Umkehrregel berechnen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Du brauchst zuerst zu y=-1 das zugehörige x:

g(x)=-1 hat nur eine reelle Lösung x=0

Damit ist

f'(-1)=1/g'(0)=1/15

Answer 3

Nachträglich noch meine Antwort,

Der Punkt für den die Steigung bestimmt werden soll
hat die Koordinaten ( -1 | y ).
Da die Funktion f die Umkehrfunktion von g ist ist Sie
durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden entstanden.
Der Spiegelpunkt ist ( y | -1 )
g ( x ) = 3x^5 − 10x^3 + 15x − 1 = -1
x = 0
Die Steigung g ´( 0 ) ist 15 ( berechnet ).

Hier eine Skizze ( nicht weltmeisterlich und
symbolisch )

Das Steigungsdreick g ´( 0 ) = Δ y / Δ x  = 15
Das gespielgelte Steigungsdreick f ´( -1 ) ist 
Δ x / Δ y = 1/15