Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Person pro Auto

Question

A train consists of \( N \) cars; \( K(K>N) \) passengers get on it and select their cars at random (each car has the same probability that it is chosen by a passenger). Find the probability for the event (=Ereignis) \( A \) that there will be at least one passenger in each car. Provide the general formula of this probability and calculate this probability for the special case of \( N=4 \) and \( K=5 \)

Hint: Regard the complement event \( \bar{A} \) and use the Poincaré-Sylvester formula.

Ich hab schon ein bisschen rum probiert, aber ich komme einfach nicht drauf, was die Gegenwahrscheinlichkeit ist.

Answer 1

\(A\): mind. ein Passagier pro Waggon

\(\overline{A}\): mind. ein Waggon ohne Passagier

\(X_i\): Waggon \(i\) ist leer, \(i=1,\dots N\)

$$P(\overline{A})=P(X_1 \cup X_2 \cup \dots \cup X_N)=\sum_{i=1}^N\left((-1)^{i-1}\sum_{I\subseteq\{1,\dots ,N\}\\\quad|I|=i}P(X_I)\right)\\ =\sum_{i=1}^N(-1)^{i-1}\binom{N}{i}\left(\frac{N-i}{N}\right)^K$$

Wobei \( X_I=\bigcap_{i\in I}X_i\) sein soll.

Für \(N=4\) und \(K=5\) ergibt sich bei mir \(P(A)= \frac{15}{64}\)