Beweis: Goldener Schnitt im Dreieck

Question

Aufgabe:

(A,B,C) ist ein gleischenkliges Dreieck mit d(A,B) = d(A,C)  also AB und AC sind die Schenkel.

die Winkelsymetralle zum Winkel  ⌊(B,C,A) schneidet die Strecke AB im Punkt P, so dass (C,P,B) ein zu (A,B,C) ähnliches Dreieck darstellt. 

zz. ist nun, dass AB von P im goldenen Schnitt geteilt wird.

Ansatz:

Ich hab mir zuerst die Eigenschaften von Ähnlichen Dreiecken angeschaut und diese gleich auf die zwei Dreiecke in diesem Fall angewendet - Es gilt also:

$$\frac{d(C,P)}{d(A, B)}=\frac{d(P,B)}{d(B, C)}=\frac{d(B,C)}{d(C, A)} (1.1)$$

Außerdem ist ⌊(X,B,C) = ⌊(B,C,A) (Eigenschaft von Ähnlichem Dreieck + Eigenschaft von Gleichschenkeligem Dreieck)

Für den goldenen Schnitt einer Strecke AB gilt:

$$\frac{d(A,P)}{d(P, B)}=\frac{d(A,B)}{d(A,P)} (1.2)$$

Nur leider komme ich jetzt nicht mehr weiter und weiß nicht wirklich wie ich $(1.2)$ zeigen kann.

Gruß,

Gray

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Hallo

 erstmal sehe ich nur , dass du dass CP den Winkel bei C halbiert, nicht benutzt,  dass su also auch was über die Winkel im ursprünglichen Dreieck weisst.

Gruß lul

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siehe: Goldenes Dreieck.

Answer 1

Hallo,

Eine Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite (hier $AB$) in einem Dreieck im Verhältnis der anliegenen Seiten. D.h. $$\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|AP|}{|BP|}$$Auf Grund der geforderten Ähnlichkeit der Dreiecke $\triangle ABC$ und $\triangle CPB$ gilt auch $$\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|BC|}{|BP|}$$aus den beiden Gleichungen folgt unmittelbar (die linken Seiten sind identisch) $|AP| = |BC|$. Ersetzt man nun in der ersten Gleichung $|AC| = |AB| = |AP|+ |BP|$ und $|BC| = |AP|$ so steht dort$$\frac{|AP|+ |BP|}{|AP|} = \frac{|AP|}{|BP|}$$die Gleichung des goldenen Schnittes.

Auch wenn Dir das mit den Winkelhalbierenden nicht bekannt ist, gibt es noch andere Möglichkeiten der Herleitung. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke $\triangle ABC$ und $\triangle CPB$ folgt, dass die Winkel $\angle ACP$ (blau) und $\angle PAC$ (gelb) gleich groß sind. Folglich ist $\triangle PCA$ gleichschenklig und $|AP| = |PC| = |BC|$. Setzt man dies in die Gleichheit der Verhältnisse von Basis und Schenkel ein, erhält man die selbe Gleichung wie oben.

Gruß Werner

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Vielen Dank für deine Antwort, ich glaube ich verstehe alles :)

Sollte ich noch Fragen haben meld ich mich hier nochmals

Gruß,

Gray