Du definierst eine Funktion \(h:[a, b]\to\mathbb{R}, h(x)=f(x)-g(x).\)
Wegen \(f(a)<g(a)\) ist \(h(a)<0\), und wegen \(f(b)>g(b)\) ist \(h(b)>0\).
Laut Zwischenwertsatz hat \(h\) dann eine Nullstelle \(x_0\in [a, b]\). Dort ist dann \(0=h(x_0)=f(x_0)-g(x_0)\), also ,\(f(x_0)=g(x_0).\)