Beweisen, dass die Gleichung wahr ist: (a^2 b^2) / (a^{−2} b^{−1}) = a^4 b^3 für a≠0, b≠0

Question

Von der Ungleichung zur Gleichung...

Die folgenden Aussagen befassen sich mit Potenz- und Bruchrechnung.

Wahr oder Falsch:

a^2 b^2 /
a^−2 b^{−1} = a^4 b^3           a≠0, b≠0
Als erstes habe ich den bruch aufgelöst, sodass ich b=a^4 b^3 habe. Nur weiter weiß ich mal wieder nicht...

Answer 1

Nun. Da jetzt  nicht das rausgekommen ist, was du willst (rechts), ist die Aussage falsch.

Die Bedingung a≠0 und b≠0 ist zwingend, damit der linke Term definiert war.

Du musst ein einziges Gegenbeispiel angeben, wenn du das beweisen willst.

a² b² /
a^−2 b⁻¹ = a⁴ b³

Gegenbeispiel:

a= 2, b = 3

(2^2 * 3^2) / (2^{-2} * 3^{-1} 

= 2^{4} * 3^{3}

stimmt nun aber. 

Daher nun nochmals ein Versuch, das richtig umzuformen.

a² b² /
a^−2 b⁻¹ = a^ (2 -(-2)) * b^ (1 - (-1)) = a^4 * b^3.

Die Aussage ist also trotzdem wahr. 

Comments

Aber auch hier stellt sich mir wieder die Frage wieso mir b=a^4 b^3 sagt, dass die Gleichung wahr ist.

Angenommen ich hätte -warum auch immer-  a=a^4 b^3 rausbekommen, wüsste ich nicht wieso mir

b=a^4 b^3 sagt, dass die Gleichung wahr ist.

Da habe ich den Dreh noch nicht wirklich raus.


Wenn ich das "Ergebnis" habe weiß ich damit quasi nichts anzufangen um die Aufgabe letztendlich zu lösen.

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Oh. habe das völlig falsch gelesen. So ist das natürllch falsch. Ich korrigiere mal meine Antwort.

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Laut Lösung ist die Gleichung aber wahr. Somit ist doch meine Lösung: b=a^4 b^3  - die impliziert, dass die Gleichung nicht wahr ist - doch falsch?

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Okay, jetzt verstehe ich es. Im Gegenbeispiel kann ich für a und b beliebige Zahlen einsetzen, richtig?

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Solange die nicht Null sind. Ja.

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Eigentlich sagt man nicht unbedingt, dass eine Gleichung 'wahr' ist.

Man sagt: Die Aussage 

a² b² /
a^{−2} b⁻¹ = a⁴ b³           a≠0, b≠0

ist wahr. (oder halt falsch)