Aloha :)
Ich mache Teil (a) sehr ausführlich, die Teile (b) und (c) dann kürzer.
Teil (a): Gegeben ist die Funktion:$$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\,g(x)=3x^5-10x^3+15x-1$$Gesucht ist die Ableitung der Umkehrfunktion \(f(x)\) an der Stelle \(x=-1\). Das Berechnen der Umkehrfunktion ist hier nicht explizit nötig. Da \(f\) und \(g\) Umkehrfunktionen zueinander sind, macht die eine Funktion die Wirkung der anderen rückgängig. Für alle \(x\) aus dem Definitionsbereich der Umkehrfunktion gilt daher:$$g(\,f(x)\,)=x$$Wir leiten beide Seiten der Gleichung ab, wobei links die Kettenregel zum Einsatz kommt:$$g'(\,f(x)\,)\cdot f'(x)=1$$$$\underline{f'(x)=\frac{1}{g'(\,f(x)\,)}}$$Das ist die entscheidende Formel, die uns durch alle Aufgabenteile führt. Leiten wir die Funktion \(g(x)\) ab und setzen statt \(x\) dann \(f(x)\) ein, erhalten wir:$$f'(x)=\frac{1}{15f^4(x)-30f^2(x)+15}=\frac{1}{15\left[f^2(x)-1\right]^2}$$Die Umkehrfunktion \(f\) ist offenbar genau dann differenzierbar, wenn \(f(x)\ne\pm1\) ist.
Wegen \(g(0)=-1\) ist \(f(-1)=0\), sodass die Ableitung exisitert:$$f'(-1)=\frac{1}{15(0^2-1)^2}=\boxed{\frac{1}{15}}$$
Teil (b): Gegeben ist die Funktion:$$g:\mathbb{R}\to(0|\infty)\,,\,g(x)=(x^2-4x+5)e^x$$$$g'(x)=(2x-4)e^x+(x^2-4x+5)e^x=(x^2-2x+1)e^x=(x-1)^2e^x$$$$f'(x)=\frac{1}{g'(f(x))}=\frac{1}{[f(x)-1]^2e^{f(x)}}$$Die Ableitung \(f'(x)\) existiert, sofern \(f(x)\ne1\) ist.
Wegen \(g(0)=5\) ist \(f(5)=0\), sodass die Ableitung existiert:$$f'(5)=\frac{1}{[0-1]^2e^{0}}=\boxed{1}$$
Teil (c): Gegeben ist die Funktion:$$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\,g(x)=\frac{1}{2}x^2+2x$$Hier ist ein etwas anderes Vorgehen gefordert. Dazu schreiben wir die Funktion zunächst um:$$g(x)=\frac{1}{2}x^2+2x=\frac{1}{2}x^2+2x+\underbrace{2-2}_{=0}=\frac{1}{2}\left(x^2+4x+4\right)-2$$$$g(x)=\frac{1}{2}(x+2)^2-2$$Wie die Abbildung zeigt, ist dies eine Parabel mit Tiefpunkt bei \((-2|-2)\). Die Funktion ist daher jeweils in dem im Intervall \((\infty|-2]\) und in dem Intervall \([-2|\infty)\) umkehrbar. Das heißt: \(x_0=-2\).
Wir berechnen nun explizit die Umkehrfunktion, indem wir in der Funktionsgleichung \(x\) und \(y=g(x)\) vertauschen und anschließend die Gleichung nach \(y\) umstellen:
$$\left.y=\frac{1}{2}(x+2)^2-2\quad\right|\;x \text{ und } y \text{ vertauschen}$$$$\left.x=\frac{1}{2}(y+2)^2-2\quad\right|\;+2$$$$\left.x+2=\frac{1}{2}(y+2)^2\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.2(x+2)=(y+2)^2\quad\right|\;\sqrt{\dots}$$$$\left.\pm\sqrt{2(x+2)}=y+2\quad\right|\;-2$$$$\left.y=-2\pm\sqrt{2(x+2)}\quad\right.$$Wir sollen das Intervall \([x_0|\infty[\) betrachten, das ist der Zweig mit der positiven Wurzel:$$f(x)=-2+\sqrt{2(x+2)}$$Die Ableitung lautet:$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2(x+2)}}\cdot2=\frac{1}{\sqrt{2(x+2)}}$$
~plot~ 1/2*(x+2)^2-2 ; -2+sqrt(2(x+2)) ; -2-sqrt(2(x+2)) ; [[-6|6|-5|5]] ~plot~
