Aufgabe:
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Beispiel
1.1:
\( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, f(z):=z^{n} \) mit \( n \in \mathbb{N}_{0} \)
\( \frac{f(z)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}=\frac{z^{n}-z_{0}^{n}}{z-z_{0}} \frac{\text {geo.Summe}}{=} \sum \limits_{k=o}^{n-1} z_{0}^{k} * z^{n-1-k} \stackrel{z \rightarrow z_{0}}{\longrightarrow}=\sum \limits_{k=0}^{n-1} z_{0}^{k} * z_{0}^{n-1-k}=n * z_{0}^{n-1} \)
D.h. \( f \) ist in jedem Punkt \( z_{0} \in \mathbb{C} \) komplex diff'bar. \( \Rightarrow f \in H(\mathbb{C}) \).
Text erkannt:
\( \frac{f(z)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}=\frac{z^{n}-z_{0}^{n}}{z-z_{0}} \frac{\text {geo.Summe}}{=} \sum \limits_{k=o}^{n-1} z_{0}^{k} * z^{n-1-k} \stackrel{z \rightarrow z_{0}}{\longrightarrow}=\sum \limits_{k=0}^{n-1} z_{0}^{k} * z_{0}^{n-1-k}=n * z_{0}^{n-1} \)
Problem/Ansatz:
, ich lerne gerade für die mündliche in Funktionentheorie und mir ist dieses Gleichheitszeichen nicht ganz klar - bzw. weiß ich nicht wie hier die Geometrische Summe einfließt - kann mir hier jemand weiterhelfen?
