P sei ein beliebiger Punkt auf dem Kreisdurchmesser. Bestimmen Sie s und beweisen Sie Ihre Vermutung.

Question

Problemlösen: Geometrie Beweis

P sei ein beliebiger Punkt auf dem Kreisdurchmesser. Bestimmen Sie s und beweisen Sie Ihre Vermutung.

Answer 1

Bestimme s für den konkreten Fall, dass P mit M zusammenfällt. Dann überlege, ob s bei Veränderung der Lage von P bleibt oder sich ändert.

Comments

Mir ist nach dem Erstellen dieser Skizze klar, dass die durch P=M gewonnene Vermutung allgemein gilt.

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Ja das macht Sinn dann würde mir die Skizze als Beweis reichen oder?

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Wenn ich das Dreieck mit Höhe = h halbiere,

... von der du nicht mal weißt, wie lang sie ist ...

dann würde mir die Skizze als Beweis reichen oder?

Nie im Leben.

Wie lang ist S, wenn P auf M liegt?

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Wenn der Punkt auf M liegt dann müssen doch beide Strecken von MD und ME = Radius vom Kreis sein. D.h. , dass das Dreieck gleichschenklig ist und die Höhe von M die Seite s teilen muss. Oder soll das über einen anderen Weg gezeigt werden?

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dass das Dreieck gleichschenklig ist und die Höhe von M die Seite s teilen muss.

Weißt du denn,  wie lang die Höhe dann ist, wenn du sie über den Pythagoras zur Berechnung von s verwenden willst?

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Oder soll ich hier über den Sehnen Satz beweisen ?

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Weißt du denn,  wie lang die Höhe dann ist, wenn du sie über den Pythagoras zur Berechnung von s verwenden willst?

Genau das hab ich jetzt gerade auch gemerkt, es macht keinen Sinn

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Allerdings hat dein "gleichschenkliges" Dreieck zwischen den Schenkeln einen Winkel von 180°-60°-60°.

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Also 60°. Dann macht dieser Kreisabschnitt $\frac{1}{6}$ vom Umfang des Kreises aus.

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Ja gut, aber gefragt war, wie lang die STRECKE s ist.

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.. da fällt mir echt nichts ein

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Wie groß sind die übrigen beiden Innenwinkel deines gleichschenkligen Dreiecks, wenn der an der Spitze 60° ist?

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Die wären dann auch 60°

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Also ein gleichseitiges Dreieck mit s= Radius ?

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Was ist ein Dreieck mit drei 60°-Winkeln?

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Also ein gleichseitiges Dreieck mit s= Radius ?

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Ja, in diesem Spezialfall gilt s=r. Nun ist zu beweisen, dass das auch bei beliebiger Lage von P gilt.

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Hmm macht es Sinn mit dem großen Dreieck, das durch die Skizze entstanden ist zu arbeiten?

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Ich habe die Skizze von abakus noch mal mit benannten Punkte gezeichnet. So kann man besser drüber reden.

Hmm macht es Sinn mit dem großen Dreieck, das durch die Skizze entstanden ist zu arbeiten?

Wenn Du damit das Dreieck $\triangle PFD$ meinst, ist die Antwort: JA!

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Wie kann man da denn Vorgehen?

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Berechne die Innenwinkel von PFD.

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120° 30° 30°

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120° 30° 30°

Richtig! und warum liegt $F$ auf dem Kreis? Und was sagt der Winkel $\angle DFE$ über den Winkel $\angle DME$?

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Dass DFE die Hälfte von DME(Mittelpunktswinkel) ist wegen dem Umfangswinkelsatz über die Sehne ED, d.h.   : DFE = 30°

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Na ja - dass $\angle DFE = 30°$ ist, war ja der Input (s. Dein vorhergehender Kommentar) - also muss $\angle DME = 2 \cdot \angle DFE$ sein.

Was bedeutet das dann für das Dreieck $\triangle EMD$?

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Was bedeutet das denn ?

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Hallo Lysop,

zunächst mal Dankeschön, dass Du Dich auf die Diskussion hier eingelassen hast. Du bist da eine rühmliche Ausnahme. Im Allgemeinen wenden sich Fragesteller ohne jede Reaktion ab, wenn man sie dazu 'nötig' aus eigenem Antrieb auf eine Lösung zu kommen.

Mathematik ist wie Fahrradfahren. Man lernt es nicht durch zuschauen, man muss es selber machen.

Was bedeutet das denn ?

Du hast richtig festgestellt $\angle DFE = 30°$. Weiter hast Du richtig geschlußfolgert $\angle DME = 2 \cdot \angle DFE = 60°$. Das Dreieck $\triangle DME$ ist ein gleichschenkliges Dreieck, da die Schenkel $MD$ und $ME$ Radien des Kreises sind. Bei diesem gleichschenkligen Dreieck $\triangle DME$ ist der Winkel 'in der Spitze' - also bei $M$ - bekannt. Mit diesen Information kann man nun die Basiswinkel  $\angle MDE$ und $\angle DEM$ berechnen. (Tipp: Winkelsumme im Dreieck ist 180°)

Wie groß sind diese?

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Deine Frage    und warum liegt F auf dem Kreis?    kann man nur beantworten, wenn man deine Konstruktion von F kennt.

Meine Skizze :

α = β  wird vorausgesetzt und F ist der Schnittpunkt der Geraden EP mit dem Kreis.

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α = β  wird vorausgesetzt .. 

ja sicher, womit dann auch $\beta = \gamma$ wäre. Und bei deiner Konstruktion sollte man auch noch wissen, dass $DF \perp MB$ ist.

Aber ich glaube, dass unsere Diskussion zu abgehoben für diesen Thread ist ;-)

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womit dann auch β=γ wäre
Wieso "womit" ?  Scheitelwinkel.

zu abgehoben für diesen Thread
Dann kan ich meine Überlegungen ja mal kurz zu Ende führen :

Aus der Voraussetzung  α = β und wegen der Scheitelwinkel γ = β  folgt  α = γ  und deshalb ist wegen der Symmetrie zum Durchmesser AB der Punkt F die Spiegelung von D an AB und deshalb liegen bei H rechte Winkel vor. (Falls "Symmetrie" als Begründung nicht ausreicht, beweise man diese Rechtwinkligkeit mit dem Kongruenzsatz SSW_g.)

Somit wird  δ = 90° - γ und wegen ε = 90° - ζ (Thales) sowie δ = ε (Peripheriewinkelsatz) folgt  ζ = γ  ( = α)  und schließlich aus   s = 2r·cos ζ   für  α = 60°  das Gesuchte.

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.. so geht's natürlich auch. Aber dann finde ich den Weg über den Mittelpunktswinkel $\angle DME= 60°$ und das Dreieck $\triangle DME$ schöner. Und ja - Symmetrie reicht aus als Begründung, dass $F$ symmetrisch zu $D$ und damit auf dem Kreis liegt.

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Leider konnte ich euch nicht folgen. Alle Winkel im DME sind 60° und ich weiß, dass der Winkel 2*DFE = DME ergibt aber was sagt mir das alles ?

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Alle Winkel im DME sind 60° 

Ja genau - und wenn alle Winkel in $\triangle DME$ 60° sind, dann ist  $\triangle DME$ ein gleichseitiges Dreieck. D.h. alle Seiten in  $\triangle DME$ sind gleich lang. Folglich ist $s$ alias $|DE|$ genauso lang wie $|MD|$ bzw. der Radius des Kreises. Und der ist immer der gleiche. Völlig unabhängig davon, wo sich $P$ auf dem Durchmesser $AB$ befindet.