Anfangswerte mit Besonderheiten für eine Differentialgleichung ermitteln.

Question

Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, bei der ich die allg Lösung der Dgl.: y´ - \( \frac{3 * y}{x} \) = 2 berechnen soll und wenn mir Besonderheiten für bestimmte Anfangswerte  auffallen soll ich darauf hinweisen.

Als allg. Lösung habe ich y = x³ + K * e^2x  berechnet. Nun weiß ich nicht genau wie ich bei den Anfangswerten ran gehen soll. Ich habe überlegt Anfangswerte wie y(0)=0 anzugucken und zu berechnen ob y steigt oder sinkt.

Ich weiß nicht ob das Zielführend ist oder nicht, deshalb frage ich hier nach. Wenn nicht würde ich mich über Hilfe freuen :)

Gruß

Answer 1

Aloha :)

Ich kriege eine etwas andere Lösung raus:

$$y'-\frac{3y}{x}=0\;\Leftrightarrow\;y'=\frac{3y}{x}\;\Leftrightarrow\;\frac{y'}{y}=\frac{3}{x}\;\Rightarrow\;\ln|y|=3\ln|x|+c_1=\ln|x^3|+c_1$$Als homogene Lösung erhalten wir also:$$y_0(x)=c_2\cdot x^3\quad;\quad c_2=e^{c_1}=\text{const}$$Zur Lösung der inhomogenen DGL variieren wir die Konstante, also \(c_2=c_2(x)\):

$$2=y'-\frac{3y}{x}=\left(c_2'x^3+3c_2x^2\right)-\frac{3c_2x^3}{x}=c_2'x^3+3c_2x^2-3c_2x^2=c_2'x^3\;\;\Rightarrow$$$$c_2'(x)=\frac{2}{x^3}=2x^{-3}\;\;\Rightarrow\;\;c_2(x)=\frac{2}{-2}x^{-2}+c=-\frac{1}{x^2}+c$$Das führt zu der allgemeinen Lösung:$$y(x)=\left(-\frac{1}{x^2}+c\right)x^3=cx^3-x\quad;\quad c=\text{const}$$Als Besonderheit bei den Anfangsbedingungen würde ich notieren, dass \(y(0)=0\) und \(y'(0)=-1\) fest vorgegeben sind.

Comments

Danke für die Hilfe, ich wollte nochmal fragen wie du auf die Anfangswerte gekommen bist?

Gruß

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Wie könnt ihr y(0) berechnen/angeben, wenn die DGL an der Stelle x=0 gar nicht definiert ist?

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Setz doch mal \(x=0\) in die Lösung ein. Das Ergebnis ist immer \(0\), egal wie du die Konstante \(c\) wählst. Ebenso ist \(y'(0)=1\) immer unabhängig von der Wahl der Konstanten \(c\).

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Setz doch mal x=0 in die Lösung ein

Setz doch mal x=0 in die Differenzialgleichung ein (oder in deine Lösung, bevor du \( -\frac{x^3}{x^2} \) zu -x gemacht hast).

Merkst du nicht selbst, dass du hier entweder zurückziehen oder etwas besser argumentieren musst?

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Dass die Differentialgleichung für \(x=0\) nicht definiert ist, ist nicht schlimm. Eine Funktion ist am geschlossenen Rand eines Definitonsbeichs nie differenzierbar. Man könnte vielleicht noch auf den Definitionsbereich der Lösung hinweisen: \(y:\mathbb{R^{\ge0}}\to\mathbb{R}\).

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Vielen Dank!

Answer 2

siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.

Kapitel,Differentialgleichungen

inhomogene lineare Dgl 1.Ordung

y´+P(x)*y=Q(x)

Lösungsformel:y=f(x)=1/u(x)*∫(u(x)*Q(x)*dx  mit u(x)=e^(∫(P(x)*dx))  intergrierender Faktor

y´-3/x*y=2

Q(x)=2=konstant

P(x)=-3/x

∫-3/x*dx=-3*∫1/x*dx=-3*ln|x|

...=-3*ln|x|

u(x)=e^(-3*ln|x|)=1/e^(3*ln(|x|) Potenzgesetz  a^(-n)=1/a^(n) oder 1/a^(-n)=a^(n)

y=f(x)=1/e^(3*ln|x|)*∫e^(-3*ln|x|)*2*dx=2/e^(3*ln|x|)*∫e^(e^(-3*ln|x|)*dx(ln|x|+C)=2*x*ln|x|+2*x*C

Der Rest ist mir zu viel Rechnerei.

Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.