Kurvendiskussion Kurvenschar Exponentialfunktion

Question

Die Funktion lautet fa(x)=ax+e^(-x)

Ich soll nun die Extrema, die Wendepunkte und das Grenzwertverhalten von x → ±∞ überprüfen, leider komme ich nicht weiter. Die Ableitungen habe ich schon gebildet und ich weiß auch wie man auf Extrema und Wendepunkte kommt. Trotzdem wären die Lösungen und der Ansatz bei Grenzwertverhalten super. Danke

Answer 1

Die Funktion lautet fa(x)=ax+e^(-x)

Ich soll nun die Extrema, die Wendepunkte und das Grenzwertverhalten von x → ±∞ überprüfen,
f ´( x ) = a - e^(-x)
f ´´ ( x ) = e^(-x)

f ´( x ) = a - e^(-x)
Stellen mit waagerechter Tangente
a - e^(-x) = 0
a = e^(-x)  | ln ( )
ln(a) = -x
x = - ln(a)
Def Bereich a > 0

Funktion fallend
f ´( x ) < 0 : a - e^(-x) < 0
a < e^(-x)   | ln (  )
ln ( a ) < -x | *- 1
- ln(a) > x
x < - ln ( a )

Von x = -∞ bis x = l- n(a) ist die Funktion fallend
dann steigend.
x = - ln(a) ist ein Tiefpunkt

f ´´ ( x ) = e^(-x)
Wendepunkt : kein Wendepunkt

lim x -> -∞ [  ax+e^(-x) ] = a *(-∞) + e^(-(-∞)) 

a *(-∞) + e^(∞)  : der 2-Term ist positiv größer
als der erste Term : insgesamt ∞

lim x -> ∞ [  ax+e^(-x) ] = a *(∞) + e^(-∞))
Der 2.Term geht gegen 0
Insgesamt ∞

Answer 2

Die Ableitungen habe ich schon gebildet 

Ich sehe keine.

und ich weiß auch wie man auf Extrema und Wendepunkte kommt.

Ich sehe auch nicht, dass du das mit deinen Ableitungen versucht hast.

Comments

Meine Ableitungen

f'(x)= a-e^(-x)

f''(x)=e^(-x)

f'''(x)=-e^(-x)

Das mit den Extrema und Wendepunkte habe ich ebend selber herausgefunden. Das Extrema liegt bei (-ln a| f(-ln a)) und es gibt keine Wendepunkte. Nur das Grenzwertverhalten bereitet mir Schwierigkeiten.

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e^(-x) geht gegen 0, wenn x gegen unendlich geht.

Damit folgt die Funktion

f(x)=ax+e^(-x) dort dem Verlauf des linearen Anteils a*x.

Ob der nun gegen plus oder minus unendlich geht, hängt davon ab, ob a positiv oder negativ ist.

e^(-x) geht gegen unendlich, wenn x gegen minus unendlich geht.

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Sorry das hab ich vergessen a>0 ändert das was an der Antwort?

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Damit folgt die Funktion

f(x)=ax+e^(-x) dort dem Verlauf des linearen Anteils a*x.

... und wenn a>0 ist, ist die lineare Funktion jetzt gesichert monoton wachsend.

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Wenn ich für a verschiedene Zahlen einsetze wie 2,4, 6 läuft es im negativen immer gegen - 6. Ist das der grenzwert und wie kommt man rechnerisch darauf

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Wenn ich für a verschiedene Zahlen einsetze wie 2,4, 6 läuft es im negativen immer gegen - 6.

Wo hast du den Unsinn her?

In der Abbildung siehst du die Graphen für a=1 bis a=10. Für negative x läuft es immer gegen unendlich.