Darstellende Matrizen Basis

Question

Wir nehmen ohne Beweis zur Kenntnis: In den ℝ-Vektorräume W := R₃[X] und V:= ℝ³ und mit 

a := (1, 1 + X, 1 + X + X², 1 + X + X² + X^d3), b:= ( \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) ) 

ist b eine Basis von W und a eine Basis von V . Außerdem ist :

f: W → V , f(α+βX +γX² + δX³  ) := \( \begin{pmatrix} α-β\\γ+δ\\β-2γ-3δ \end{pmatrix} \)

eine R-lineare Abbildung. 

Bestimmen Sie M_a^b(f) . Erklären Sie dabei detailliert Ihren Rechenweg inklusive Ihrer Nebenrechnungen

Answer 1

Aloha :)

Wir bestimmen zunächst die Abbildungsmatrix \(_{E_{V}}M_{E_W}(f)\) beüglich der Standardbasen \(E_V\) und \(E_W\):

$$\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma+\delta\\\beta-2\gamma-3\delta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\alpha+\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\beta+\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}\gamma+\begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}\delta\quad\Rightarrow$$$$_{E_{V}}M_{E_W}(f)=\left(\begin{array}{r}1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & -2 & -3\end{array}\right)$$Nun lesen wir die Übergangsmatrizen von \(a\) und \(b\) in ihre jeweiligen Standardbasen ab:$$_{E_W}\!\operatorname{id}_a=\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad_{E_V}\!\operatorname{id}_b=\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right)$$Die gesuchte Übergangsmatrix bzgl. der Basen \(a,b\) ist damit:

$${_b}M_a(f)={_b}\!\operatorname{id}_{E_V}\cdot {_{E_{V}}M_{E_W}(f)}\cdot {_{E_W}\!\operatorname{id}_a}=\left({_{E_V}}\!\operatorname{id}_b\right)^{-1}\cdot {_{E_{V}}M_{E_W}(f)}\cdot {_{E_W}\!\operatorname{id}_a}$$$$\phantom{{_b}M_a(f)}=\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{r}1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & -2 & -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

$$\phantom{{_b}M_a(f)}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 2\\0 & 1 & -1 & -4\end{array}\right)$$$$\phantom{{_b}M_a(f)}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}1 & -1 & 2 & 6\\-1 & 1 & 0 & -2\\1 & 1 & -2 & -6\end{array}\right)$$

Comments

Bist du dir sicher, dass EVidb = 110 010 101 gilt?  Weil die Basis b lautet ja 110 011 und 101.

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Oops, da ist mir wohl ein Übertragungsfehler unterlaufen...

Ich korrigiere das entsprechend.

Danke für den Hinweis ;)

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Sehr gerne, ich danke dir für die Hilfe. Jedoch wurde jetzt a und b vertauscht in der Aufgabenstellung. Also die Aufgabenstellung wurde aktualisiert. Nun ist b := (1, 1+X, 1+X+X^2 und so weiter und a := ((110),(011),(101))

Könntest du uns da nochmal den selben Beweis schreiben? Das hat uns sehr geholfen.

:)

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Also am besten einfach dort bearbeiten, das wär sehr lieb. b bleibt Basis von W, a bleibt Basis von V. Jedoch wurde a und b nur umgekehrt gesetzt nach aktualisierter Aufgabenstellung.

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Hmmm, die Abbildung geht doch von 4 Dimensionen nach 3 Dimensionen. Wenn jetzt die Basen vertauscht wurden, muss die Abbildung doch von 3 Dimensionen nach 4 Dimensionen gehen?

Vielleicht stellst du die neue Aufgabe als eigene Frage? Dann lässt sich das später auch besser finden.

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Das versteh ich nämlich auch nicht. Ich glaube es ist einfach ein Fehler von den Aufgabenstellern. Denn alles bleibt gleich außer dass a und b anders gesetzt wurden. Das kann ja irgendwie nicht sein.

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Achso, die haben sich einfach nur mit Schreibweise vertan in der Aufgabenstellung. Das hatte ich schon implizit korrigiert. Durch die Abbildung selbst ist vorgegeben, dass von 4 Dimensionen auf 3 Dimensionen abgebildet wird. Daher war klar, dass die Basen vertauscht waren. Ich habe mir nur nichts weiter dabei gedacht, weil ich nicht wusste, welche Schreibweise ihr gelernt habt, also ob ihr die Eingangsbasis oben oder unten hinschreibt.

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In der neuen Aufgabenstellung ist dass d im Exponenten verschwunden bei der Basis b, beim letzten Element in der Klammer. Hat das was zu bedeuten? Da stand X^d3 und jetzt steht dort nur X^3

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Nee, das ist auch noch ein Tippfehler in der Aufgabenstellung. Hier im Forum werden oft kleine Tippfehler in den Aufgabenstellungen gemacht. Da weiß ich nicht, ob die vom Fragensteller beim Abtippen reingebracht wurden oder ob die in der Aufgabenstellung schon falsch waren.

Normalerweise passiert dann bei der Antwort eine Art Autokorrektur. Jeder macht mal Fehler, außer diejenigen, die nichts tun. Aber der Aufgabensteller hatte offenbar keinen guten Tag.

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Vielen lieben Dank für deine Hilfe. Also ist die Lösung oben von dir komplett richtig?

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Jetzt ja, nachdem du mich auf den Übertragungsfehler bei der Basis hingewiesen hast. Schade, denn vorher war das Ergebnis schöner ;)