Erklärung eines Integrationschritts

Question

Aufgabe mit Lösungsschritten:

\( \int \frac{x \mathrm{e}^{-\frac{x}{n}}}{n^{2}} \mathrm{d} x \)

Linearität anwenden:
\( =\frac{1}{n^{2}} \int x \mathrm{e}^{-\frac{x}{n}} \mathrm{d} x \)

Wir lösen nun:
\( \int x e^{-\frac{x}{n}} d x \)

Substituiere \( u=-\frac{x}{n} \longrightarrow \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=-\frac{1}{n} \) (Rechenweg) \( \longrightarrow \mathrm{d} x=-n \mathrm{d} u \)

\( =n^{2} \int u \mathrm{e}^{u} \mathrm{d} u \)

Mir ist nicht klar, warum nach Anwenden der Linearität und dem Hinzufügen von \( dx=-ndu \) aus \( 1/n^2 \), \( n^2 \) folgt.

Für mich würde \( (1/n^2)-n=-n \) folgen statt \( n^2 \).

Comments

Es wird nur \( \int x \textrm{e}^{-\frac{x}{n}} ~\textrm{d}x\) betrachtet. Du ersetzt jetzt x durch -n*u und dx durch -n du. Dann bekommst du 2 mal (-n) also n^2. Wenn du später den Vorfaktor 1/n^2 dazu nimmst kürzen die sich weg.

Answer 1

Setze (1) u= - \( \frac{x}{n} \). Das bedeutet (2) x= - u·n und \( \frac{du}{dx} \) =-\( \frac{1}{u} \) also (3) dx= -u·du.

(1), (2) und (3) in \( \int\limits_{}^{} \) x·\( e^{-\frac{x}{u}} \) dx eingesetzt, ergibt:

\( \int\limits_{}^{} \) -n·u·e^u·(-n)du. Dann ist -n·(-n)=n² (wird als konstanter Faktor vor das Integral gezogen).

Comments

Wie kommst du denn auf du/dx=-1/u?

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Wie kommst du denn auf du/dx=-1/u?

Schreibfehler meinerseits. Richtig wäre: du/dx=-1/n.