Mengenbeweise topologischer Raum

Question

Hi zusammen,

ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und habe Probleme bei folgendem:

Es seien (X, τ) ein topologischer Raum und A, B ⊂ X.

(a) (A ∩ B)° = A° ∩ B°

(b) (A ∪ B)° ⊃ A° ∪ B°

Ich habe noch ein paar mehr Aufgaben der Art, wenn mir jemand anhand der beiden erklären könnte wie das funktioniert, wäre ich sehr dankbar.

An sich weiß ich wie man Mengenbeweise macht, aber nicht wenn da ° steht.

Answer 1

(a) Sei x ∈ (A ∩ B)°. Sei U ∈ τ mit x ∈ U ⊂ (A ∩ B)°. Wegen (A ∩ B)° ⊂ A ist dann U ⊂ A. Wegen U ∈ τ und U ⊂ A ist auch U ⊂ A°. Analog dazu ist auch U ⊂ B°. Also ist U ⊂ A° ∩ B°. Wegen x ∈ U ist also auch x ∈ A° ∩ B°. Somit ist

        (A ∩ B)° ⊂ A° ∩ B°.

Zeige auch, dass A° ∩ B° ⊂ (A ∩ B)° ist.

(b) Sei x ∈ A° ∪ B°. Zeige, dass x ∈ (A ∪ B)° ist.