Ableitung,Taylor,Induktion

Question

a) Gegeben ist die Funktion f(x) = ln(2x + 1). Berechnen Sie die ersten drei Ableitungen von f.
Ermitteln Sie daraus eine Vermutung wie der Funktionsterm der n-ten Ableitung f^(n)
für n ∈ N aussieht.

Beweisen Sie Ihre Vermutung mit vollständiger Induktion.

b) Geben Sie mit Hilfe des Resultats aus a) das Taylorpolynom n-ten Grades der Funktion f(x)
mit Entwicklungspunkt x0 = 0 an.

Guten Tag liebe Community, ich habe zwar hinbekommen die ersten drei Ableitungen der Aufgabe zu bestimmen, was ja auch nicht das schwierige ist, jedoch habe ich bei den nächsten Schritten leider nur kleine Ansätze die mich nicht sonderlich weit bringen.

Ich weiß also dass die n-te Ableitung irgendwas mit 2*2^n-1 sein muss da dass ja die Folge der Zahlen ist die sich immer verdoppeln. Und dass ist hier der Fall leider weiß ich nicht wie ich dann weitermachen soll.

Und bei dem B Teil brauch ich dass ja und ja sagen wir es so check es schon was die wollen aber bekomme es nicht hin, ich will dass wirklich verstehen und anwenden können bitte helft mir dass so verständlich wie möglich zu machen damit ich dass im Anschluss kann, ich würde euch bitten die Lösung so ausführlich wie möglich zu machen.

meayme00

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\ln(2x+1)$$$$f'(x)=\frac{1}{2x+1}\cdot2=2(2x+1)^{-1}$$$$f''(x)=-2(2x+1)^{-2}\cdot2=-4(2x+1)^{-2}$$$$f'''(x)=8(2x+1)^{-3}\cdot2=16(2x+1)^{-3}$$Durch die innere Ableitung kommt mit jeder Stufe der Faktor 2 hinzu. Durch die äußere Ableitung kommt mit jeder Stufe der Faktor \((-(n-1))\) hinzu. Das führt auf die Vermutung:$$f^{(n)}=-(-2)^n(n-1)!(2x+1)^{-n}\quad;\quad n\ge1$$Verankerung \(n=1\):$$f^{(1)}(x)=-(-2)^1\cdot0!\cdot(2x+1)^{-1}=2(2x+1)^{-1}\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$f^{(n+1)}(x)=\frac{d}{dx}f^{(n)}(x)\;\stackrel{(IV)}{=}\frac{d}{dx}\left(-(-2)^n(n-1)!(2x+1)^{-n}\right)$$$$\phantom{f^{(n+1)}(x)}=-(-2)^n(n-1)!\cdot(-n)(2x+1)^{-(n+1)}\cdot2$$$$\phantom{f^{(n+1)}(x)}=-(-2)^n(n-1)!\cdot n(2x+1)^{-(n+1)}\cdot(-2)$$$$\phantom{f^{(n+1)}(x)}=-(-2)^{n+1}n!(2x+1)^{-(n+1)}\quad\checkmark$$Das Taylor-Polynom n-ten Grades um den Entwicklungspunkt \(x_0=0\) lautet damit:

$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)\cdot x^k=\underbrace{f(0)}_{=0}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)\cdot x^k=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)\cdot x^k$$$$\phantom{f(x)}=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left(-(-2)^k(k-1)!(2\cdot0+1)^{-k}\right)\cdot x^k=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}\left(-(-2)^k\right)\cdot x^k$$$$f(x)=\sum\limits_{k=1}^n-\frac{(-2x)^k}{k}=2x-2x^2+\frac{8}{3}x^3-4x^4\pm\dots$$

Comments

Können sie mir einfach sagen wie ich dass hin bekomme. Ich würde dass auch gerne einfach so lösen können.

Ich kann mir manchmal einfach nicht vorstellen dass ich dass mal kann.

Vielen viel Dank auf jeden fall. Wow.

meayme00