det = 1 und det = 0 beweisen

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) ein \( \mathbb{K} \) -Vektorraum und \( \Phi \in \operatorname{End}_{\mathrm{K}}(V) \) ein Endomorphismus in \( V \).

Wie üblich schreiben wir
$$ \Phi^{n}:=\underbrace{\Phi \circ \Phi \circ \cdots \circ \Phi}_{n \text { Mal }} $$
Beweisen Sie

a) Wenn \( \Phi^{2}(v)=v \) für alle \( v \in V, \) dann gilt \( |\operatorname{det}(\Phi)|=1 \)

b) Ist \( \Phi \) nilpotent, das heißt, es existiert ein \( n \in \mathbb{N}, \) sodass \( \Phi^{n}(v)=0 \) für alle \( v \in V, \) dann gilt \( \operatorname{det}(\Phi)=0 \)

 ich weiß nicht wie ich a und b beweise

Answer 1

a) Es ist \( \Phi^2 =\operatorname{id} \), also $$ (\det \Phi)^2 =\det \Phi^2 = \det \operatorname{id} = 1 $$, da K ein Körper ist kann die Determinante nur 1 oder -1 sein.

b) Sei n eine natürliche Zahl mit \( \Phi^n=0\) , dann gilt $$ (\det \Phi)^n = \det \Phi^n =\det 0 =0$$

Körper sind nullteilerfrei, also muss dies Determinante =0 sein.