Zeigen Sie, dass die charakteristische Gleichung einer (2 × 2)−Matrix A in der folgenden Form ausgedruckt werden kann:

Question

Die Spur Tr(A) einer Matrix einer quadratischer Matrix A besteht aus der
Summe der Diagonalelemente.

Zeigen Sie, dass die charakteristische Gleichung einer (2 × 2)−Matrix
A in der folgenden Form ausgedruckt werden kann:

 

lambda^2 − Tr(A) + det(A) = 0.

 

ich verstehe nicht wie man das zeigen soll?

Comments

Die charakteristische Gleichung wäre ja det([a - k, b; c, d - k]) = 0

Daher wäre zu zeigen, dass

det([a - k, b; c, d - k]) = k^2 - Tr(A) + det([a, b; c, d])

- a·k + a·d - b·c + k^2 - d·k = k^2 - Tr(A) + a·d - b·c

- a·k - d·k = - Tr(A)

Tr(A) = a·k + d·k

Aber irgendwie stimmt das doch nicht weil die Spur doch nur 

Tr(A) = a + d

ist :( Ich weiß nur nicht wo ich gerade einen Denkfehler gemacht habe oder fehlt in deiner Formel ein lambda?

Answer 1

Hi,

Du meinst: λ² − Tr(A)λ + det(A) = 0?

 

Rechne einfach mal beides aus:

"Normales" errechnen eines charakteristischen Polynoms über Ergänzung von -λ in der Hauptdiagonalen.

 

$$\begin{pmatrix} a-\lambda & b\\ c & d-\lambda \end{pmatrix}$$

$$(a-\lambda)(d-\lambda) - bc = ad - \lambda a - \lambda d + \lambda^2-cb = 0$$

 

Nach obiger Formel:

Tr(A) = a+d

det(A) = ad-bc

λ^2 - Tr(A)λ + det(A) = 0

λ^2 - (a+d)λ + ad - bc = 0

λ^2 - λa - λd + ad - bc = 0

 

Beides entspricht sich, passt also.

 

Grüße