Kern von linearer Abbildung Kreuzprodukt bestimmen

Question

Aufgabe: Kern und Bild bestimmen von L:  ℝ^3 --> P_ℝ⁽³⁾ mit x ↦ a × x   mit festem a ∈ ℝ³ 

Für den Kern habe ich die Matrix aufgelöst und erhalte als Lösung:

x₃= a₃/a₂* x₂

x₁= -a₁/a₃* x₃

x₂= a₂/a₁* x₁

Wie kann ich diese Lösung als Vektor schreiben? Muss ich alles nach z.B x2 umparametrisieren?

Ich wäre echt dankbar für jede Hilfe!

Comments

Im Kern liegen alle Vektoren x, die zu a parallel sind

Answer 1

Hallo,

du kannst \( x_1 \) in \( x_2 \) einsetzen und \( x_2 \) in \( x_3 \) einsetzen:

\( x_3 = - \frac{a_3}{a_2} \frac{a_2}{a_1} \frac{a_1}{a_3} x_3 = - x_3 \).

Daraus folgt \( x_3 = 0 \). Dies wiederum impliziert \( x_1 = 0 \), was \( x_2 = 0 \) bedeutet: Der Nullvektor gehört zum Kern von \( L \).

Eine weitere Lösung ergibt sich aus \( x_i = c a_i \) für \( i = 1, 2, 3 \): Die zu \( a \) parallelen Vektoren gehören zum Kern von \( L \).

Du müsstest an geeigneter Stelle noch diskutieren, wie du vorgehst, wenn \( a_i = 0 \) für eines oder mehrere der \( a_i \) gilt.

Grüße

Mister

Comments

Wow super vielen lieben Dank für die schnelle Antwort Mister!!!

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Bitteschön. ~