Bestimmen von Matrixdarstellung von bestimmten Integralen. Kern von linearer Abbildung.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien \( V:=\operatorname{span}\left(\left\{1, x, x^{2}, x^{3}\right\}\right) \subset \mathbb{R}[x] \) mit der Basis \( B:=\left\{1, x, x^{2}, x^{3}\right\} \) sowie die linearen Abbildungen

\( F: V \rightarrow \mathbb{R}, f \mapsto \int \limits_{-1}^{1} f(t) \mathrm{d} t \text { und } G: V \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f \mapsto(f(-1), f(0), f(1)) \)

(i) Seien \( E_{1} \) und \( E_{3} \) die Standardbasen des \( \mathbb{R} \) bzw. \( \mathbb{R}^{3} \). Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen \( M_{E_{1}, B}(F) \) und \( M_{E_{3}, B}(G) \) von \( F \) bezüglich \( B \) und \( E_{1} \) bzw. von \( G \) bezüglich \( B \) und \( E_{3} . \)

ii) Zeigen Sie Ker \( G \subseteq \operatorname{Ker} F \).

iii) Zeigen Sie: Es gibt eine lineare Abbildung \( H: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( H \circ G=F \).

Answer 1

Für die Matrizen:

In der i-ten Spalte stehen die Koordinaten der Bilder des i-ten Basisvektors.

Also für M E1,B (F) die entsprechenden Integrale ausrechnen:

F(1) = 2

F(x)=0

F(x^2)=2/3

F(x^3)=0

also Matrix    2     0     2/3     0

bei G:

G(1) = Spaltenvektor ( 1;1;1)

G(x) =Spaltenvektor ( - 1;0;1)etc.

Also Matrix    M

1   -1    ?    ? 
1   0     ?     ?
1   1     ?     ? 

und  für Kern (G) rechnest du

M * Vektor  x =   0-Vektor aus

und bei F entsprechend

2*x1  +  0*x2  +   2/3*x3  +   0*x4 = 0 

mit x4=s und x3=t   und  x2=u   hast du 

x1 =  -1/3 * t    also sind die Lösungen

die Polynome   -1/3 t   +  u*x + t*x^2 + s*x^4 

also alle Linearkombinationen von

-1/3  + x^2    ;     x     ;      x^3