Wie kann man hier die Steigung berechnen?

Question

 Die Beobachtungen liegen ungefähr auf einer linearen Funktion y=b1+b2x und sind mit leichten Fehlern behaftet. Ermitteln Sie die Parameter dieser linearen Funktion durch Verwendung der Normalgleichungen.

Wie lautet die Steigung?

Answer 1

Hallo Sissi,

bist Du nur am Ergebnis interessiert (\(m = 0,4800495\)) oder brauchst Du auch den Rechenweg ;-)

Normalengleichung \(A^TA \alpha = A^T y\) aufstellen mit $$A = \begin{pmatrix}1& 6.3\\ 1& 8.7\\ 1& 10.1\\ 1& 12.5\end{pmatrix}, \quad y = \begin{pmatrix}10.29\\ 11.22\\ 12.23\\ 13.19\end{pmatrix}, \quad \alpha = \begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix} $$Gibt das Gleichungssystem$$\begin{pmatrix}4& 37.6\\ 37.6& 373.64\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}46.93\\ 450.839\end{pmatrix}$$und die Lösung$$\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}7.220034653\\ 0.480049505\end{pmatrix}$$und das Bild zur Aufgabe:

~plot~ {6.3|10.29};{8.7|11.22};{10.1|12.23};{12.4|13.19};7.220034653+0.480049505x;[[-2|15|-2|15]] ~plot~

Answer 2

Aloha :)

Wir wollen für die gemessenen Punkte eine Geradengleichung anpassen:$$y=b_1+b_2x$$Wir setzen die Punkte ein und erhalten folgende Gleichungen:$$\left(\begin{array}{r}b_1 & b_2 & =\\\hline 1 & 6,3 & 10,29\\1 & 8,7 & 11,22\\1 & 10,1 & 12,23\\1 & 12,5 & 13,19\end{array}\right)$$Das schreiben wir mit Matrizen:$$\left(\begin{array}{r}1 & 6,3\\1 & 8,7\\1 & 10,1\\1 & 12,5\end{array}\right)\binom{b_1}{b_2}=\left(\begin{array}{r}10,29\\11,22\\12,23\\13,19\end{array}\right)$$Die Normalengleichung erhalten wir durch Linksmultiplikation der transponierten Matrix:$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\6,3 & 8,7 & 10,1 & 12,5\end{pmatrix}\left(\begin{array}{r}1 & 6,3\\1 & 8,7\\1 & 10,1\\1 & 12,5\end{array}\right)\binom{b_1}{b_2}$$$$=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\6,3 & 8,7 & 10,1 & 12,5\end{pmatrix}\left(\begin{array}{r}10,29\\11,22\\12,23\\13,19\end{array}\right)$$Rechnen wir die Matrizen aus, reduziert sich das System auf:$$\left(\begin{array}{r}4 & 37,6\\37,6 & 373,64\end{array}\right)\binom{b_1}{b_2}=\binom{46,93}{450,839}$$Die Lösung dieser Normalengleichung ist:$$b_1\approx7,220035\quad;\quad b_2\approx0,480050$$

~plot~ 7,220035+0,480050*x ; {6,3|10,29} ; {8,7|11,22} ; {10,1|12,23} ; {12,5|13,19} ; [[6|14|10|14]] ~plot~